昨天认为，不过如此，结果今天就碰到困难了，虽然能推导出来，但就是感觉有点难以理解，甚至难以描述，只能说自然语言还是不太够，公式写的出来，语言上却说不出来，数学表述能力超过了自然语言的表述能力，说明还需要不断发展新的词汇来描述新的现象。
首先是薛定谔方程，其实就是波动方程，在哈密顿量那一节就见到了，只是当时只能以整体的哈密顿算符来表示，得不到更多的细节。在学习了动量算符后，那就不一样了，经典力学中的哈密顿量也就是能量可以表示为动能和势能，动能总可以用组分粒子的动量来表示，势能则是坐标函数形式给出。对于无相互作用的多粒子系统而言，这个表示就是简单的求和，即使有了相互作用，仍可以将这种作用包含到势能中去。
反正就这样可以得到哈密顿算符用动量算符表示的一种形式，带入之前的波动方程中去就是薛定谔方程。然后是方程求解，从最简单的开始，单个粒子的薛定谔方程。
这个方程的解就是平面波，其实就是拉普拉斯方程，在电磁波那里见过很多次了。平面波自然要借助于电磁波理论中的那些概念，像角频率，波矢，波长等等，于是，就到了老生常谈的德布罗意波，所谓的物质波。波粒二象性就是这个东西，粒子的波函数，不仅光是波，实物粒子也是波。这里我想到一个问题，光的那个波也是波函数吗？这个问题，比较怪，但是也是有道理的，毕竟虽然光都认为是波，那么光子是什么呢？显然，光子应该就是光通过量子理论对应出来的粒子了，这块的理论似乎还比较深，好像是量子电动力学，暂时也接触不到。
然后是薛定谔方程的经典近似，就是把经典近似的波函数表达式带进去，忽略高阶小量，得到的表达式，结果得到了两个关系，一个是哈密顿雅可比方程，就是作用量版本的能量方程，还有一个是概率的经典近似，也是我看得不太明白的地方，说的是波函数所表示的空间中的各点的物理量的值要和经典力学中推导的值一样，但是概率本身确实无法消除的，也就是说，到底粒子在哪里还是不知道，但是知道粒子如果出现在了某个位置，那么粒子在那个位置所具有的物理量的值必定接近于经典力学所确定的值。虽然写了这么多，但是还是不太明白，粒子可以出现在任何地方，那经典力学是怎么确定任意位置物理量的值呢？难道说是场的观点，给出初始条件可以确定物理量关于空间位置的场？
薛定谔方程的基本性质，这个性质就是单值性，连续性。单值性不用多说，波函数的连续性可以推出有意思的结论，所谓的量子隧穿效应，无视能量壁垒的限制，穿过去。这是为什么呢？因为波函数是连续的，导数也是连续的，当势垒不是无限高的时候，粒子在势垒附近自然可以靠的很近，然后借助于导数的连续性，结果就把函数给硬拉过去了，我们都知道，函数的连续导数阶数越高，图像就越平滑，想要从非零值取到零就需要一段不小的过渡区，波函数也是这样，通过这个过渡区，将波函数的图像送到了势垒之后，也就是将粒子的出现概率给推到势垒后面了。
然后是势能函数对能量本征值的讨论，这就不说了，这种东西用到的时候才需要仔细看。
接着是速度算符，其实从这里开始，慢慢就把算符和物理量等价起来了，通过列写算符方程，来说明一些关系，形式上就和经典力学就很像，比如动能和动量的关系，牛顿第二定律，都有对应的算符形式。当然，他们在物理意义上是截然不同的，经典力学就是单独的值，算符对应的是一堆值。
最后是流密度，全称是概率流密度矢量，可以考虑在场论中学到的一堆流密度，像能流密度，质量流密度，动量流密度，都是一样的东西，伴随这个密度而来的就是连续性方程，或者说守恒方程的场论形式，随便选取一块空间，这块空间中某种物理量整体减少了或者增多了，那不肯定是从边界流进来，或者流出去了。这个其实就是斯托克斯定理，在低维空间就是高斯公式，斯托克斯公式。内部的变化转化为边界的变化。一般使用的时候都要保证内部是良好的，没有什么黑洞把东西吸跑了，也没有什么超时空传输机，凭空产生东西，里面的东西只能从边界进来出去。
然后这就给归一化提供了物理意义，使所选的空间所具有的概率分布保证只存在一个粒子，那就是概率为一。
就到这里了。
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