立体几何中的折纸问题：2019年文数全国卷C题19

折纸：2019年文数全国卷C题19

（12分）图1是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形，其中 将其沿 折起使得 与 重合，连接 ，如图 2.

（1）证明∶图2中的 四点共面，且平面 平面 ;

（2）求图2中的四边形 的面积.

2019年文科数学全国卷C

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【解答问题1】

∵ 是矩形，∴ ,

∵ 是菱形，∴

∴

∴ 四点共面.

∵ 是矩形，∴ ,

∵ 是直角三角形，∴

又 ∵ ,

∴ 平面

又 ∴ 平面 ,

∴ 平面 平面 .

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【解答问题2】

∵ 是菱形，, ∴ 是正三角形，.

在棱柱 中，

∵ , 平面 , ∴ 平面 ,

又 ∵ 平面 , ∴

∴

在 中，

在 中，, 所以，点 到 的距离为

∵ , ∴ 是平行四边形，

平行四边形 的面积 .

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【提炼与提高】

是由两个正三角形拼成的菱形，所以 . 这样的菱形在立体几何大题中已经出现多次。

三边比为 的三角形，在本题中也出现了多次：

关于这个常用三角形的讨论，请看下文：

初高中衔接讲座：正方形内的直角三角形

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【易错点】

部分学生会把点 与平面 的距离当作平行四边形 的高. 点 的投影在 上；但点 的投影并不在 上. 这点需要注意一下.

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