命题的推广，范畴中的一族对象的积存在，则在同构下唯一。
我们可以写作，积的定义是与集合的顺序无关的，于是有下面的推广的结合律成立。
考虑集合I和他的一个划分，将这个集合转化为不交并子集，考虑范畴中的一族对象。当下面提及的积都存在的时，这个同构就成立。说白了就是任意加括号。
只需证明右边符合积的定义，则根据上面的定理，同一族对象的积仅相差一个同构，得证。
需要注意，一族对象的积存在，并不能说明这个对象族的子族存在积。
例如，选择一个自然数n，考虑集合范畴的满子范畴Cn，对象是基数小于n的集合，易证Cn中的积如果存在，就是笛卡尔积，因此当积集合基数小于n时，他是存在的。
然而任意的族只要包含空集，他的积就一定存在，也就仅仅是空集罢了。
a.集合范畴，集族的笛卡尔积就是笛卡尔积
b.小范畴范畴，两个范畴的积已经定义，并且可以推广到任意范畴族。
c.群，交换群，环，模，布尔代数等等范畴，对象族的积就是定义了分量运算的笛卡尔积
d.实巴拿赫空间和线性收缩，总算是找到定义了，线性收缩，首先满足线性，然后是一个收缩映射，映射后的范数小于原向量。按分量定义，感觉就是向量范数，每个都小，那么整体就小。
e.实巴拿赫空间和有界线性泛函，有限对象族的积总存在，但无限对象族的积就未必存在了。
f.拓扑空间和连续映射，拓扑空间族的积。这一块还是找拓扑学的看吧。
g.紧豪斯多夫空间和连续映射，对象族的积可以像在拓扑空间范畴中那样计算。
h.视为范畴的偏序集，给出一族元素，定义积就是定义下确界。因为要满足小于等于任意元素，还要在偏序集内，那就只能是下确界了。？？
i.集合范畴中，整数集和实数集的笛卡尔积，就是通常的笛卡尔积，并具有同构。
很多例子，回顾一下，积就是建立在一族对象上的结构，对象族同，则积只差一个同构，含空集的族，积必定存在，就是空集。集合范畴就是笛卡尔积，结构化集合就是基础集合的笛卡尔积，并带有分量运算，拓扑空间的积，对于有限个，是平凡的，对于无限个，则采用了一种特殊的构造，以满足拓扑定义。偏序集的积就是下确界。？？这个还要想一想。
网友评论