高等代数理论基础28：矩阵乘积的行列式与秩

高等代数理论基础28：矩阵乘积的行列式与秩

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-09 07:32 被阅读65次

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矩阵乘积的行列式与秩

乘积的行列式

定理：设A,B是数域P上的两个 $n\times n$ 矩阵,则 $|AB|=|A||B|$

即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积

推广：设 $A_1,A_2,\cdots,A_m$ 都是数域P上的 $n\times n$ 矩阵,则 $|A_1A_2\cdots A_m|=|A_1||A_2|\cdots|A_m|$

退化

定义：对数域P上的 $n\times n$ 矩阵A,若 $|A|\neq 0$ ,则称A为非退化的,否则称为退化的

注：一个 $n\times n$ 矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于n

推论：设A,B是数域P上 $n\times n$ 矩阵,矩阵AB为退化的充要条件是A,B中至少有一个是退化的

矩阵乘积的秩

定理：设A是数域P上 $n\times m$ 矩阵,B是数域P上 $m\times s$ 矩阵, $r(AB)\le min[r(A),r(B)]$

即乘积的秩不超过各因子的秩

证明：

$要证r(AB)\le min[r(A),r(B)]$

$只需证r(AB)\le r(A)且r(AB)\le r(B)$

$设A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nm}\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1s}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2s}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{ms}\end{pmatrix}$

$令B_1,B_2,\cdots,B_m表示B的行向量$

$C_1,C_2,\cdots,C_n表示AB的行向量$

$C_i的第j个分量和a_{i1}B_1+a_{i2}B_2+\cdots+a_{im}B_m的第j个分量$

$都等于\sum\limits_{k=1}^ma_{ik}b_{kj}$

$\therefore C_i=a_{i1}B_1+a_{i2}B_2+\cdots+a_{im}B_m(i=1,2,\cdots,n)$

$即矩阵AB的行向量组C_1,C_2,\cdots,C_n可经B的行向量组线性表出$

$\therefore AB的秩不超过B的秩$

$即r(AB)\le r(B)$

$同样,令A_1,A_2,\cdots,A_m表示A的列向量$

$D_1,D_2,\cdots,D_n表示AB的列向量$

$D_i=b_{1i}A_1+b_{2i}A_2+\cdots+b_{mi}A_m(i=1,2,\cdots,s)$

$即矩阵AB的列向量组可经A的列向量组线性表出$

$\therefore AB的秩不超过A的秩$

$即r(AB)\le r(A)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

推论：若 $A=A_1A_2\cdots A_t$ ,则 $r(A)\le \underset{1\le j\le t}{min}r(A_j)$

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