有心力问题（2）: 运动方程以及第一积分

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-01-15 14:47 被阅读0次

有心力问题（2）: 运动方程以及第一积分
有心力问题（3）: 等效一维问题以及轨道分类
有心力问题（5）：轨道微分方程以及可积幂律势
波动方程的分离变量法
分析力学基本原理介绍7.3：哈密顿运动方程（2）
单自由度振动方程与Matlab/Simulink求解
关于朗道《力学》p.34习题1的笔记
小学数学基础知识
线性方程定理
有心力问题（7）: 轨迹方程积分以及第一定律

对于保守有心力，势函数 $V(r)$ 是一个仅关于距离 $r$ 的函数。有心力 $\mathbf{F}(r) = -\boldsymbol{\nabla}V(r) = -\frac{\partial V}{\partial r}\frac{\mathbf{r}}{r}$ 将始终沿着 $\mathbf{r}$ 的方向。

让我们考虑约化质量为 $m$ 的约化单质点系统，并将坐标原点选在力心。

$\bullet$ 由于 $V(r)$ 只依赖距离，系统将具有球对称性。根据守恒定理，绕轴旋转的角坐标一定是循环坐标，固角动量 $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ 守恒。所以位矢 $\mathbf{r}$ 将始终与角动量 $\mathbf{L}$ 垂直，即，位矢将始终位于法矢量平行于角动量的平面内。当 $\mathbf{L} = \mathbf{0}$ ，上述结论依然是成立的，

$\mathbf{r}\times m\dot{\mathbf{r}} = r\boldsymbol{\hat{r}} \times m(\dot{r}\boldsymbol{\hat{r}} + r\dot{\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}}) = \mathbf{0}$ $\implies \dot{\theta} = 0$

不过这时的质点将沿着与力心的连线方向做直线运动。

所以，我们可以说，有心力运动总会保持在一个平面内。

$\bullet$ 对于有心力问题，空间具有对称性。所以对于空间中质点的运动我们通常选用三个球坐标来描述：方位角 $\theta$ ，天顶角 $\phi$ 以及径向距离 $r$ 。

由于有心力运动总位于平面内，若将转轴选为沿角动量方向，天顶角将始终保持 $\frac{\pi}{2}$ 弧度。所以在之后的运动方程中，我们可以直接略去这一自由度。角动量守恒引入了三个守恒常量（分别对应在笛卡尔坐标上的三个分量）。正如上面解释的，我们已经使用了其中两个并且得到了角动量方向守恒，系统的自由度也从最初的三降为了二。最后一个常量则对应了角动量大小守恒，是我们主要要讨论的内容。

$\bullet$ 因为有心力守恒，而坐标又不显含时间，拉格朗日函数具有形式：

$\mathscr{L} = T -V = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r)$

存在循环坐标 $\theta$ ，所以共轭的正则动量 $p_{\theta}$ 守恒：

$p_{\theta} = \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta} \equiv l$

对拉格朗日函数使用关于循环坐标 $\theta$ 的勒让德变换：

$\mathscr{H}_{cyc}(l) = \frac{1}{2}(\mathbf{p}^{\rm{t}} - \mathbf{a}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}(\mathbf{p} - \mathbf{a}) - \mathscr{L}_0 = \frac{l^2}{2mr^2}$

从而得到劳斯函数：

$\mathscr{R}(r,\dot{r},l) = \frac{l^2}{2mr^2} - \frac{m\dot{r}^2}{2} + V(r)$

将劳斯函数代入关于非循环坐标 $r$ 的拉格朗日方程：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial \dot{r}}\right) = \frac{\partial \mathscr{R}}{\partial r}$

$\implies \boxed{m\ddot{r} - \frac{l^2}{mr^3} = -\frac{\partial V}{\partial r} \equiv f(r)}$

$\bullet$ 另一个运动积分来自于总能量守恒。对拉格朗日函数使用勒让德变换：

$\begin{align*}\mathscr{H}(r,p,l) &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}p_r, & p_{\theta}, &0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix}1/m & 0 & 0\\0&1/(mr^2)&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{pmatrix}p_r\\p_{\theta}\\0\end{pmatrix} + V(r)\\&= \frac{p_r^2}{2m} + \frac{l^2}{2mr^2} + V(r)\end{align*}$

于是

$\begin{align*}\frac{d\mathscr{H}}{dt} &= \frac{\partial\mathscr{H}}{\partial r}\dot{r} + \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_r}\dot{p_r}\\&= -\dot{p_r}\dot{r} + \dot{r}\dot{p_r}\\&= 0\end{align*}$

$\implies \frac{d}{dt}\left(\frac{m\dot{r}^2}{2} + \frac{l^2}{2mr^2} + V(r)\right) = 0$

$\implies \boxed{\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) + V(r) = T + V = E = \text{const.}}$

这时第二个运动积分。

$\bullet$ 由于系统存在两个变量： $r$ 和 $\theta$ （自由度为二），按照一般流程使用拉格朗日方程我们会得到两个二阶微分方程。所以完全求解整个系统的运动情况我们一共需要进行四次积分，我们已经得到了前两个积分，剩下两个可以通过很多方法得到。下面的方法可能是最简单的一种。

利用第二个运动积分，求解 $\dot{r}$ 得到：

$\dot{r} = \sqrt{\frac{2} {m}\left(E-V-\frac{l^2}{2mr^2}\right)}$

或者

$dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V-\frac{l^2}{2mr^2}\right)}}$

设 $t = 0$ 时 $r = r_0$ ，于是

$\boxed{t = \int_{r = r_0}^{r} \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V-\frac{l^2}{2mr^2}\right)}}}$

Voilà，我们得到了第三个积分。通过计算该积分，我们可以得到 $t(r)$ ——时间关于距离的函数。如果这时再利用结果求距离关于时间的反函数 $r(t)$ ，并代入第一个运动积分：

$mr^2(t)\dot{\theta} = l \implies d\theta = \frac{l}{mr^2(t)}dt$

设当 $t = 0$ 时 $\theta = \theta_0$ ，则

$\boxed{\theta = \int_{t = 0}^{t}\frac{l}{mr^2(t)}dt + \theta_0}$

这是最后一个运动积分。

$\bullet$ 至此，我们就已成功地将有心力问题转化为了含有四个积分常数 $E, l, r_0, \theta_0$ 的四个积分问题。之后就是考虑如何着手解决这些积分了。

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