立体几何复盘：如何证明空间的线线垂直？

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-23 23:02 被阅读0次

本文的目的，是帮助大家在经过一段时间的解题训练后进行回顾和总结，以提高水平，所以称为复盘。本文包括了 2007年至 2020年的 10个立体几何大题。只谈解题要点，不提供完整解答。请不要在自己进行解题练习前阅读本文，一定要在完成自己的练习后再来阅读本文。

立体几何复盘：如何证明空间的线线垂直？

空间的垂直关系有以下三种：

『线线垂直』：包括共面垂直和异面垂直两类情况。

『线面垂直』

『面面垂直』

这三种垂直关系，可以相互转化。

（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。

（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。

（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。

（4）由面面垂直可以推出线面垂直。

（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。

真题实例：线线垂直

2007年文数海南卷题18

如图， $A，B，C，D$ 为空间四点，在 $\triangle ABC$ 中， $AB=2，AC=BC=\sqrt{2}$ ，等边三角形 $ADB$ 以 $AB$ 为轴转动.
（Ⅰ）当平面 $ADB \perp$ 平面 $ABC$ 时，求 $CD$ ;
（Ⅱ）当 $\triangle ADB$ 转动时，是否总有 $AB \perp CD$ ? 证明你的结论.

2007年文数海南卷

【破解要点】

注意题图中有两个等腰三角形： $\triangle ABC, ABD$ ;

作 $AB$ 中点 $M$ ，根据三线合一则可得两组线线垂直关系： $AB \perp MD, AB \perp MC$ ；

由线线垂直推出线面垂直，再推出线线垂直，即可解决问题Ⅱ.

问题Ⅰ 是一种特殊情况：当平面 $ADB \perp$ 平面 $ABC$ 时， $\triangle DMC$ 是直角三角形，可根据勾股定理解答.

注意：这是众多问题的题根，在高考中已经出现多次。

2017年文数全国卷C题19

如图，四面体 $ABCD$ 中， $\triangle ABC$ 是正三角形， $AD=CD.$
（1）证明： $AC \perp BD$ ；

2017年文数全国卷C

【破解要点】

注意到本题已知条件中存在两个等腰三角形： $\triangle ABC, ADC$ ;

其问题2与 2007年文数海南卷题18其实是同一个问题。

2009年理数海南卷题19

如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍， $P$ 为侧棱 $SD$ 上的点.
（I）求证∶ $AC \perp SD$ ;

2009年理数海南卷

【破解要点】

如果把四棱锥 $S-ABCD$ 一分为二，就可以得到两个四面体. 在四面体 $S-ADC$ 中， $\triangle ACD, ACS$ 是等腰三角形.

因此，问题1 实际是2007年文数海南卷题18的重现.

2009年文数海南卷题18

如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中， $\triangle PAB$ 是等边三角形， $\angle PAC= \angle PBC=90°.$
（Ⅰ）证明∶ $AB \perp PC$ ;

【破解要点】

如果能证明 $CA=CB$ , 问题1就回到了我们熟悉的 2007年文数海南卷题18, 而这是容易做到的：

在 $\triangle PBA, \triangle PBC$ 中， $PC=PC, PA=PB, \angle CPA=CPB$ ,

∴ $\triangle PBA=PBC$ ,

∴ $CA=CB$

img

2004年文数全国卷C题21

三棱锥 $P-ABC$ 中，侧面 $PAC$ 与底面 $ABC$ 垂直， $PA=PB=PC=3.$
（Ⅰ）求证 $AB \perp BC$ ;

2004年文数全国卷C题21

【破解要点：思路一】

作 $AC$ 中点 $M$ ，由三线合一推出线线垂直，结合面面垂直，可推出线面垂直关系，再推出线线垂直： $PM \perp MB$ ,

然后，可推出三角形全等和线段相等： $MB=MA=MC$ ,

应用平面几何知识，可推出： $AB\perp BC$ .

【破解要点：思路二】

作 $AC$ 中点 $M$ ， $AB$ 中点 $N$ ，并连接 $PM, PN, MN$ .

由面面垂直和线线垂直推出线面垂直和线线垂直： $PM \perp AB$ ,

由三线合一推出线线垂直： $PN \perp AB$ ,

由线线垂直推出线面垂直： $AB \perp PMN$ , 再推出新的线线垂直： $AB \perp MN$ ,

根据中位线的性质推出： $MN // BC$ .

$AB \perp MN, MN//BC \Rightarrow AB\perp BC$ .

2014年文数全国卷A题19

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧面 $BB_1C_1C$ 为菱形， $B_1C$ 的中点为 $O$ ，且 $AO \perp$ 平面 $BB_1C_1C.$
（I）证明∶ $B_1C \perp AB$ ;

2014年文数全国卷A

【破解要点】

从三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，可以拆出一个四面体 $A-BB_1C$ .

根据题设条件容易证明： $\triangle BB_1C, \triangle AB_1C$ 是等腰三角形，于是，再一次回到了：2007年文数海南卷题18

2013年文数全国卷A题19 2013年理数全国卷A题18

说明：2013年全国卷一，文数与理数的立体几何大题问题1完全相同。

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $CA=CB,AB=AA_1, \angle BAA_1=60°.$
（Ⅰ）证明∶ $AB \perp A_1C$ ;

2013年文数全国卷A

【破解要点】

根据题设条件容易证明： $\triangle A_1AB, \triangle CAB$ 是等腰三角形，于是，再一次回到了：2007年文数海南卷题18.

2011年文数全国卷题18 2011年理数全国卷题18

说明：2011年全国卷，理数第18题第1问与文数第18题第1问完全相同.

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形， $\angle DAB=60°,AB=2 AD$ ， $PD \perp$ 底面 $ABCD.$
（I）证明∶ $PA \perp BD$ ;

2011年文数全国卷

【破解要点】

四棱锥 $P-ABCD$ 中，可以拆出一个四面体 $B-PDA$ .

根据已知条件容易证明： $\triangle DAB$ 是直角三角形, $BD \perp DA$ .

$PD \perp$ 底面 $ABCD. \Rightarrow PD \perp BD$

∵ $DA \perp BD, PD \perp BD, PD \cap DA=D$

∴ $BD \perp$ 平面 $PDA$

∴ $PA \perp BD$ .

本题的特色在于：应用平面几何知识推出线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再推出线线垂直.

题中两样存在两个等腰三角形： $\triangle DPA, BPA$ , 不过，却不是条件，而是结论.

注意：平行四边形 $ABCD$ 可以拆分为两个三角形，而且是我们熟悉的 $60°$ 的直角三角形.

2012年理数全国卷题19

如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D$ 是棱 $AA_1$ 的中点. $DC_1 \perp BD.$
（Ⅰ）证明∶ $DC_1 \perp BC$ ;

2012年理数全国卷

【破解要点】

本题的特色在于：对于空间想象力有一定要求，这点可能会把一部分学生挡住.

从备考训练的角度来说，最好多练一些这样的题，以增加自己的究竟想象力.

为了帮助大家提高空间想象力，我们特意在此处贴了两个角度的图形.

应用平面几何知识可以推出： $\triangle DCC_1$ 是等腰直角三角形, $DC_1 \perp DC$ .

然后，由线线垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直.

∵ $DC_1 \perp BD, DC_1 \perp DC, DC\cap BD=D$ ,

∴ $DC_1 \perp$ 平面 $DBC$

又∵ $BC \subset$ 平面 $DBC$ ， ∴ $DC_1 \perp BC$

2010年理数全国卷题18

如图，已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为等腰梯形， $AB//CD，AC \perp BD$ ，垂足为 $H$ ， $PH$ 是四棱锥的高， $E$ 为 $AD$ 中点.
（1）证明∶ $PE \perp BC$ ;

2010年理数全国卷

【破解要点】

欲证线线垂直，先证线面垂直；欲证线面垂直，先证线线垂直.

本题的关键在于：用平面几何知识推出 $BC \perp EH$ .

如下图所示, 延长 $EH$ 并交 $BC$ 于点 $F$ .

∵ $\triangle HDA$ 是直角三角形，点 $E$ 是其斜边上的中点，

∴ $ED=DH=DA$ ,

$\angle ADH=\angle DHE=\angle BHF$ ,

又∵ $ABCD$ 是等腰梯形， $\triangle HDA \cong \triangle HCA$ ,

∴ $\angle DBC = \angle CAD$ ,

∴ $\angle DBC+\angle BHF=90°$ ,

∴ $BC \perp EF$ .

相对而言，梯形在高考中出场的频率不如平行四边形、矩形和菱形；但出场较少并不等于不考.

要想在高考数学中拿到高分，平面几何一定要过关.

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立体几何复盘：如何证明空间的线线垂直？

立体几何复盘：如何证明空间的线线垂直？

真题实例：线线垂直

2007年文数海南卷题18

2017年文数全国卷C题19

2009年理数海南卷题19

2009年文数海南卷题18

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2014年文数全国卷A题19

2013年文数全国卷A题19 2013年理数全国卷A题18

2011年文数全国卷题18 2011年理数全国卷题18

2012年理数全国卷题19

2010年理数全国卷题18

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