欧式几何是建立在“公理”基础之上的一套演绎体系，在初中课程中，这是一条异常迷人的分支。我们二年级的小朋友也要学习几何内容啦！确切的讲，早在一年级，孩子们就已经在立体图形和平面图形的学习过程中感受过了几何游戏的魅力。当然我们的几何学习与这些不证自明的几何“公理”无关，而是一系列以感官经验为基础的操作活动，对于儿童而言就是一套好玩的数学游戏。所以我们可以讲小学几何是中学几何的具体内容，而中学几何是小学几何在更高层级上的形式化的表达。
有了这样的认识之后，我们就会明白将角的定义（有一个顶点和两条直直的边的图形）告诉给儿童甚至让儿童背诵定义这样的做法对于孩子来说是毫无意义的。一起去看看小贝壳们是如何解决关于“角”的认知冲突，建构角观念的，这是一场刺激的思维冒险之旅！
“方”“圆”“角”的甲骨文故事仿佛在诉说着人类认识周围世界的起点，小贝壳们也像我们的祖先一样，开始去寻找那个悄悄藏在我们身边的数学精灵——角。
认知冲突1
问：什么是角？
答曰：那个尖尖的地方！物体最边边的地方！就在图形里面……
还有人画了一个自己脑海中的角。
这就是孩子们关于角的真实认识。他们生活在一个充斥着人类文化的符号系统中，“角”对于他们而言并不陌生，墙角，桌角，犄角旮旯，三角形……是他们经常会听到的名词。在贞元一年级的数学课程中，孩子们会在剪切，拼接，搭建等数学游戏中去感受几何图形的变化，这无形中也在帮助孩子们从动作经验上去沟通几何图形中边和角的关系。但“角”仍然是作为某个平面图形的局部特征出现的，儿童很难理解“角”这个非封闭图形还能作为一个单独的平面图形而存在。
于是课堂游戏就此展开……
在面对一堆平面图形的时候，你会怎么分类呢？
四堆，三堆，两堆都可以，只要你能说出自己的理由。当孩子们把平面图形分成两类的时候就会感觉到圆的边都是弧形，没有角，另外的图形都是有角的，孩子们先用自己的视觉经验感知，什么叫有角，什么叫无角。
那么把自己所感知到的角撕下来吧！什么撕教具？小贝壳们是那么的不忍心，看看他们那小心翼翼的样子，只能感叹数学课堂真是什么都有可能发生啊！
最有趣的是在撕的过程中孩子们所发生的讨论——
老师，这怎么撕啊！那个尖尖的地方就那么一点点我没法撕！
角不是只有尖尖的地方，没有旁边的边怎么可能有尖尖的地方啊！要把周围的两条边也给它撕下来！如果只有尖尖的那么一点点那就应该叫做“点”，而不是角了。
老师，看！同样的长方形，我撕的角比他撕得大！
是吗？咱俩比比看！
看吧！我的边比你的长那么多！我的角就是比你的大！
不是看边！要看两条边中间的这部分。
好吧，那咱俩的角就一样大！
在这一来一回的对话中，孩子们认识到了角的组成，角的大小等问题。那么到底什么是角呢？
得有一个尖尖的“顶头”。
这个“顶头”数学家把它叫做顶点。
还得有两条直直的边，没有边就没办法有那个“顶点”。
是的，这两条直直的线被称作是角的两条边。这次孩子们试着画出自己脑海中的角的样子，终于角不再是几何图形的一部分了，它有了自己存在的意义。
那么这样的图形是角吗？
这个问题，对于儿童来说无疑是一个巨大的挑战，这些图形在生活中确实是被我们称作“角”的呀！但经过上面的操作和讨论，孩子们会用自己脑海中的“角”的观念去做判断。
他们都不是角，第一幅图没有尖尖的顶点和直直的边，第二幅图中的一条边是弯的。
就这样角的观念进一步在儿童脑海中得到了强化。
认识冲突2
问：这些角都一样吗？
答曰：不一样，有的大，有的小，有的还是直直的。
二年级小朋友的描述完全是基础视觉和触觉的感知。当你与儿童对话的时候，你就会发现教学的契机就藏在这里面。孩子的现有经验就是我们教学灵感的源泉。这次我们就玩点更好玩的吧！
面对撕下来的大大小小的角，你能对它们分分类吗？
我想把这些直直的角放在一起，把这个最胖的角单独放，还有这些瘦瘦的角放在一起，分成三堆。
给这些直直的角起个名字吧！叫什么呢？
直角
你会惊叹孩子们就是天然的数学家。
那么剩下的角呢？
胖角和瘦角
教室里乐开了花！这个名称太口语化了，最主要的问题是到底怎样就叫胖，怎么就叫瘦呢？每个人对于“胖”和“瘦”的感觉也不一样啊！看来我们得找个标准才行。你们觉得哪个角可以当这个标准呢？
就用这个直角吧！
同意，直直的角在生活中最常见。
我们来用直角和其他的角比比看。
有的角比直角大，就叫钝角；有的角比直角小，就叫锐角。就这样锐角和钝角也被我们玩了出来。其实我们的身体也可以用来表示直角，锐角和钝角，在动手比较的过程中孩子们感受着改变开口之后角的大小变化。
我们来用彩泥捏捏角，怎么样？孩子们欢呼雀跃，角就应该这样玩起来嘛！
老师，看我捏出了锐角。
怎么证明这就是个锐角？
它的样子是尖尖的；还可以和直角比一比，比直角小啊。
看我，捏出了钝角。
怎么知道这就是个钝角？
胖胖的，还比直角大！
在教学过程中我们从来不问，三种角之间的大小关系，当作品成型的时候，一切都会呈现在眼前，孩子们自己就忍不住想给这三兄弟排个序。
我们不仅可以用彩泥制作出空心的角，我们还试着做出了实心角！你一定很好奇，实心角会是什么样子。就先让小贝壳做个示范吧！
圆圆的彩泥饼上确定一个点，作为角的顶点，从这个点出发用直尺的一条直直的边，旋转之后所构成的图形不就是一个角吗？
角的观念在儿童脑海中一下子活了起来，原来角也是可以动的，我们用自己手臂再来试试看。
确定了一个顶点，一个手臂充当角的一条边，孩子们边做动作，边兴奋的喊——锐角，锐角……直角啦！钝角钝角……不好了，这条手臂转动得起始位置成了一条直线，又不是角了！不是角了吗？
孩子们结合钟表上指针运动再次感受动态角的变化过程。我们再次遭遇到之前的问题，当边旋转到和起始位置同一条直线的位置时，还是角吗？
班级里展开了激烈的认知冲突，那个尖尖的点不见了！
在呢，还在这里呢！（孩子们上黑板指出了顶点所在的位置）
但是，角的两条边，变成了一条边了！
不，两条边还是两条边。（孩子再次指出起始位置和旋转之后边的位置）
既然是角，这是什么角？
隐身角，误导角，淘气角……
哈哈，我们还是根据角给我们的感受来命名吧！叫它平角怎么样？之后孩子们又很顺利地又玩出了周角。动态角真的是太好玩了。
好玩的还在后头呢！如果将各种角与捏小人结合起来会发生什么呢？孩子们的态度超级认真，为了保证自己小人的各个身体部位所组成的角就是自己想要的角，他们主动拿起三角板的直角进行比对。看看我们的小人，有直角，有锐角也有钝角，哈哈，毛老师也挑战了高难度动作，直角真的已经是她的极限了。最后我们一起收获了一节快乐的数学创造课。
认知冲突3
问：角和角可以合并拼接吗？在平面图形中可以切割出不同的角吗？同一个图形中能同时存在不同的角吗？
答曰：别问了，快玩游戏吧！
几何变换与角之间的神奇关系，也只有在游戏中才能被儿童所感知，数学在儿童眼中也将充满了惊异感。在这个单元的综合部分，我们试图带着孩子去利用自己已经形成的角观念感受角的“千变万化”！
用两个三角板创造出了这么多的角，这些角到底是什么角呢？有些角一眼就能看出来，有些角是需要用直角进行验证的。最重要的是，所有的角都动了起来，两个三角板在孩子手中不断转动，他们的小脑袋里也在不断搜索着新的情况。
秋天脱落的树枝两个一组，成了我们探索角的新玩具。从直角玩到锐角再到钝角，好像很简单嘛！
如果既要有锐角又要有钝角呢？孩子们摆出了丁字形，和交叉形。
如果要全部都是直角呢？孩子们的严谨态度着实让我佩服。
但，你们能摆出既有直角又有锐角的图形吗？或者既有直角又有钝角的图形吗？
小贝壳们真是绞尽脑汁，最终以失败告终。
老师，根本不可能，直角已经那么大了，不能再加一个锐角和钝角。锐角和钝角加进去就不可能有直角了。
一切的一切，就此埋下，等到四年级你们现在所经历的一切都将以最鲜活的方式出现，到那个时候，“角”又会是怎样的呢？我无比期待。
网友评论