立体几何复盘：如何证明空间的线面垂直？

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-01 17:17 被阅读0次

本文的目的，是帮助大家在经过一段时间的解题训练后进行回顾和总结，以提高水平，所以称为复盘。本文包括了 2007年至 2020年的9个立体几何大题。只谈解题要点，不提供完整解答。请不要在自己进行解题练习前阅读本文，一定要在完成自己的练习后再来阅读本文。

立体几何复盘：如何证明空间的线面垂直？

空间的垂直关系有以下三种：

『线线垂直』：包括共面垂直和异面垂直两类情况。

『线面垂直』

『面面垂直』

这三种垂直关系，可以相互转化。

（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。

（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。

（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。

（4）由面面垂直可以推出线面垂直。

（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。

真题实例：线面垂直

2007年理数海南卷题18

如图，在三棱锥 $S-ABC$ 中，侧面 $SAB$ 与侧面 $SAC$ 均为等边三角形， $\angle BAC=90°$ ， $O$ 为 $BC$ 的中点.
（Ⅰ）证明∶ $SO \perp$ 平面 $ABC$ ;

2007年理数海南卷题18

【破解要点】

解答本题的关键如下：

（1）由三线合一可以推出： $SO \perp BC$

（2） $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形；由此可以推出： $OA=OB=OC$ , 进一步得出： $\triangle SOA \cong \triangle SOB$ , $SO \perp OA$

（3） $\triangle SAB, \triangle OAB$ 是等腰三角形；作 $AB$ 中点 $M$ ，并连接 $OM,SM$ , 根据三线合一可以推出： $SM \perp AB, OM \perp AB$ , 从而有： $AB \perp$ 平面 $OMS$ , $AB \perp SO$

综上所述，有两条路线可以推出线面垂直；在这两条路线中，「三线合一」都起到了关键性作用。

2018年理数全国卷B题20

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $AB=BC=2 \sqrt{2}$ ， $PA=PB=PC=AC=4$ ， $O$ 为 $AC$ 的中点.
（1）证明∶ $PO \perp$ 平面 $ABC$ ;

2018年理数全国卷B

【破解要点】

分析本题已知条件可以看出：本题模型与 2007年文数海南卷题18 高度相似，其特征如下：

$\triangle PAC$ 是正三角形， $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形； $\triangle PBA, PBC$ 是等腰三角形；

$\triangle POA, POC$ 是直角三角形；

如果连接 $OB$ , 则 $\triangle POB \cong \triangle POA \cong \triangle POC$

于是集齐了证明线面垂直所必需的要素： $PO \perp AC, PO \perp OB$ .

等腰三角形的「三线合一」是解答本题的关键.

2012年理数北京卷题16

如图1，在 $Rt \triangle ABC$ 中， $\angle C=90°, BC=3, AC=6$ ， $D,E$ 分别是 $AC,AB$ 上的点，且 $DE//BC$ ， $DE=2.$ 将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起到 $\triangle A_1DE$ 的位置，使 $A_1C \perp CD$ ，如图2.
（Ⅰ）求证： $A_1C \perp$ 平面 $BCDE$ ;

2012年理数北京卷

【破解要点】

「欲证线面垂直，先证线线垂直.」

几何图形在平移和翻转后，形状和大小不改变.

在图1中， $\angle ADE$ 是直角；在图2中， $\angle A_1DE$ 是直角，

「由线线垂直推出线面垂直」： $DE \perp 平面 A_1CD$

「由线面垂直推出线线垂直」： $DE \perp A_1C$

「再由线线垂直推出线面垂直」：

$DE \perp A_1C, A_1C \perp CD, DE\cap CD=D$

$\Rightarrow A_1C \perp$ 平面 $BCDE$ ;

2012年理数大纲卷题18

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为菱形， $PA \perp$ 底面 $ABCD$ ， $AC=2\sqrt{2}，PA=2$ ， $E$ 是 $PC$ 上的一点， $PE=2EC.$
（Ⅰ）证明∶ $PC \perp$ 平面 $BED$ ;

2012年理数大纲卷

【破解要点】

从线线垂直推出线面垂直是常用的方法，这种方法的要求是：从平面上找出两条相交的直线与待证的直线垂直.

在本题中，证明 $PC \perp BD$ 相对容易：

$ABCD$ 是菱形 $\Rightarrow BD \perp AC$

$PA \perp BD, BD \perp AC \Rightarrow BD \perp 平面 PAC \Rightarrow BD \perp PC$

以上过程中，由线线垂直推出线面垂直，再推出新的线线垂直.

再来找另外一对线线垂直.

观察 $\triangle PAC$ , 我们发现：已知条件中给出了多条线段的长.

根据勾股定理容易算出： $PC=\sqrt{12}$

记 $AC,BD$ 交点为点 $Q$ , 则

$\dfrac{ED}{QC}= \dfrac{AC}{PC}= \sqrt{\dfrac{2}{3} }$

于是得出结论： $\triangle QEC \sim \triangle PAC$ , $QE \perp EC$

至此，证明线面垂直所需要的两对线线垂直就集齐了.

本题的特色在于：「一对线线垂直是从线面垂直推出；另一结线线垂直关系则是用三角形的相似关系推出.」

2019年文数全国卷B题17

如图，长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $AA_1$ 上， $BE \perp EC_1.$
（1）证明∶ $BE \perp$ 平面 $EB_1C_1$ ;

注：理数与文数的第1问完全相同。

2019年文数B17

【破解要点】

$ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 是长方体 $\Rightarrow C_1B_1 \perp B_1A_1, C_1B_1 \perp B_1B$

$\Rightarrow C_1B_1 \perp AA_1B_1B$

$\Rightarrow C_1B_1 \perp BE$ ;

$C_1B_1 \perp BE, BE\perp EC_1, EC_1 \cap C_1B_1=C_1$

$\Rightarrow BE \perp$ 平面 $EB_1C_1$ ;

问题1的证明过程可以总结为：

「由线线垂直推出线面垂直；线面垂直推出线线垂直；线线垂直推出线面垂直.」

2016年理数北京卷题17

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$ ， $PA \perp PD, PA=PD$ , $AB \perp AD$ , $AB=1,AD=2,AC=CD=\sqrt{5}$ .
（Ⅰ）求证∶ $PD \perp$ 平面 $PAB$ ;

2016年理数北京卷题17

【破解要点】

由面面垂直和线线垂直推出线面垂直： $AB \perp 平面 PDA$

然后推出线线垂直： $PD \perp AB$

$PA \perp PD, PA \perp AB, PA \cap AB=A$

$\Rightarrow $$PD \perp$ 平面 $PAB$ ;

本题要点可概括如下：「由面面垂直推出线面垂直；由线面垂直推出线线垂直；再由线线垂直推出线面垂直.」

2016年文数全国卷B题19

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，点 $E，F$ 分别在 $AD,CD$ 上， $AE=CF,EF$ 交 $BD$ 于点 $H$ . 将 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置.
（I）证明∶ $AC \perp HD'$ ;

2016年文数全国卷B

【破解要点】

为了证明线面垂直，需要两对线线垂直：

（1）由菱形的性质推出： $AC \perp BD$

（2） $D'H \perp EF, EF// AC \Rightarrow AC \perp D'H$

以上两对垂直关系，其实都从菱形的对角线相互垂直这一性质推导提出.

2016年理数全国卷B题19

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ， $AB=5,AC =6$ ，点 $E,F$ 分别在 $AD,CD$ 上， $AE=CF= \dfrac {5}{4}$ ， $EF$ 交 $BD$ 于点 $H$ . 将 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置， $OD'= \sqrt{10}.$
（I）证明∶ $D'H \perp$ 平面 $ABCD$ ;

2016年理数全国卷B

【破解要点】

为证线面垂直，需要两对线线垂直.

其中一对是 $D'H \perp EF$ , 由「菱形的性质」得到；

另外一对是 $D'H \perp BD$ , 由「勾股定理的逆定理」推出.

2020年理数全国卷A题18

如图， $D$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $AE$ 为底面直径， $AE=AD$ . $\triangle ABC$ 是底面的内接正三角形， $P$ 为 $DO$ 上一点， $PO= \dfrac{\sqrt{6}}{6} DO$ .
（1）证明∶ $PA \perp$ 平面 $PBC$ ;