本文的目的，是帮助大家在经过一段时间的解题训练后进行回顾和总结，以提高水平，所以称为复盘。本文包括了 2007年至 2020年的9个立体几何大题。只谈解题要点，不提供完整解答。请不要在自己进行解题练习前阅读本文，一定要在完成自己的练习后再来阅读本文。

立体几何复盘：如何证明空间的线面垂直？

空间的垂直关系有以下三种：

『线线垂直』：包括共面垂直和异面垂直两类情况。

『线面垂直』

『面面垂直』

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这三种垂直关系，可以相互转化。

（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。

（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。

（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。

（4）由面面垂直可以推出线面垂直。

（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。

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真题实例：线面垂直

2007年理数海南卷题18

如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形，， 为 的中点.
（Ⅰ）证明∶ 平面 ;

2007年理数海南卷题18

【破解要点】

解答本题的关键如下：

（1）由三线合一可以推出：

（2） 是等腰直角三角形；由此可以推出：, 进一步得出：,

（3） 是等腰三角形；作 中点 ，并连接 , 根据三线合一可以推出：, 从而有： 平面 ,

综上所述，有两条路线可以推出线面垂直；在这两条路线中，「三线合一」都起到了关键性作用。

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2018年理数全国卷B题20

如图，在三棱锥 中，，， 为 的中点.
（1）证明∶ 平面 ;

2018年理数全国卷B

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【破解要点】

分析本题已知条件可以看出： 本题模型与 2007年文数海南卷题18 高度相似，其特征如下：

是正三角形， 是等腰直角三角形； 是等腰三角形；

是直角三角形；

如果连接 , 则

于是集齐了证明线面垂直所必需的要素：.

等腰三角形的「三线合一」是解答本题的关键.

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2012年理数北京卷题16

如图1，在 中，， 分别是 上的点，且 ， 将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2.
（Ⅰ）求证：平面 ;

2012年理数北京卷

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【破解要点】

「欲证线面垂直，先证线线垂直.」

几何图形在平移和翻转后，形状和大小不改变.

在图1中， 是直角；在图2中， 是直角，

「由线线垂直推出线面垂直」：

「由线面垂直推出线线垂直」：

「再由线线垂直推出线面垂直」：

平面 ;

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2012年理数大纲卷题18

如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ，， 是 上的一点，
（Ⅰ）证明∶ 平面 ;

2012年理数大纲卷

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【破解要点】

从线线垂直推出线面垂直是常用的方法，这种方法的要求是：从平面上找出两条相交的直线与待证的直线垂直.

在本题中，证明 相对容易：

是菱形

以上过程中，由线线垂直推出线面垂直，再推出新的线线垂直.

再来找另外一对线线垂直.

观察 , 我们发现：已知条件中给出了多条线段的长.

根据勾股定理容易算出：

记 交点为点 , 则

于是得出结论：,

至此，证明线面垂直所需要的两对线线垂直就集齐了.

本题的特色在于：「一对线线垂直是从线面垂直推出；另一结线线垂直关系则是用三角形的相似关系推出.」

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2019年文数全国卷B题17

如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上，
（1）证明∶ 平面 ;

注：理数与文数的第1问完全相同。

2019年文数B17

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【破解要点】

是长方体

;

平面 ;

问题1的证明过程可以总结为：

「由线线垂直推出线面垂直；线面垂直推出线线垂直；线线垂直推出线面垂直.」

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2016年理数北京卷题17

如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， , , .
（Ⅰ）求证∶ 平面 ;

2016年理数北京卷题17

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【破解要点】

由面面垂直和线线垂直推出线面垂直：

然后推出线线垂直：

平面 ;

本题要点可概括如下：「由面面垂直推出线面垂直；由线面垂直推出线线垂直；再由线线垂直推出线面垂直.」

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2016年文数全国卷B题19

如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 . 将 沿 折到 的位置.
（I）证明∶;

2016年文数全国卷B

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【破解要点】

为了证明线面垂直，需要两对线线垂直：

（1）由菱形的性质推出：

（2）

以上两对垂直关系，其实都从菱形的对角线相互垂直这一性质推导提出.

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2016年理数全国卷B题19

如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，，点 分别在 上，， 交 于点 . 将 沿 折到 的位置，
（I）证明∶平面 ;

2016年理数全国卷B

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【破解要点】

为证线面垂直，需要两对线线垂直.

其中一对是 , 由「菱形的性质」得到；

另外一对是 , 由「勾股定理的逆定理」推出.

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2020年理数全国卷A题18

如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，. 是底面的内接正三角形， 为 上一点，.
（1）证明∶ 平面 ;

2020年全国卷A

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【破解要点】

仔细观察会发现：此模型中存在多个正三角形，其中最重要的是：;

首先，我们把 单独画出来。注意这是一个正三角形，

根据勾股定理可以推出：

注意本题的模型具有很强的对称性，,

所以 ,

所以

由于 是正三角形，

根据勾股定理的逆定理推出：

同理可证：

从而推出线面垂直： 平面

注意：在以上过程中，我们实际已经推出如下事实： 是正三角形，而 是三个全等的等腰直角三角形. 四面体 是一个我们熟悉的四面体，在往年的高考数学中已经出现多次：

2016年文数全国卷A题18

2019年理数全国卷A题12

「熟悉模型的特征，再联系以往的经验」，问题2的解答就不再困难了。

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