离散型随机变量分布

作者: Moe丶Yui | 来源:发表于2018-11-29 14:48 被阅读0次

一、0-1分布（伯努利分布）

随机试验只有两个可能的结果，常用0-1分布来表示。

特征值：EX=p

二、二项分布 B(n,p)

n重伯努利试验中，每次实验中感兴趣的事件A，在n次实验中发生的次数——X是离散型随机变量，若P(A)=p,则

$P_{n}(k)=P(X=k)=C_{n}^k p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,...,n$

称X服从参数为n,p的二项分布，记作X~B(n,p)。

※ 0-1分布是n=1的二项分布。

特征值：EX=np，DX=np(1-p)

三、超几何分布

从有限个N物体中，抽取n个物体，成功抽出指定种类M物体的次数X（不放回）。

之所以称之为超几何分布，由于其形式与"超几何函数"的级数展开式的系数有关。

$P(X=m)=\frac{C_{M}^mC_{N-M}^{n-m}}{C_{N}^{n}} ,m=0,1,...l, l=min(M,n)$

称，X服从参数为n,M,N的超几何分布，记作X~H(n,M,N).

四、泊松分布 P(λ)

泊松分布用于描述单位时间内，随机事件发生的次数X为随机变量，

$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} ,k=0,1,...$

则称X服从参数为λ的Poisson分布，其中λ>0为常数，记作X~P(λ)

特征值：EX=λ，DX=λ

五、几何分布

在伯努利试验中，以X记时间A首次发生的实验次数，则X为一个离散型随机变量，

$P(X=k)=q^{k-1}p ， k=0,1,...$

则称X服从参数为p的几何分布，记作X~GE(p)

※几何分布的无记忆性：

$P(X=m+k|X>m) = P(X=k)$

是指，若前m次试验均失败，那么还需要k次A才会首次发生的概率，等于一开始就进行k次时A会首次发生的概率相同。（即当前需要进行k次A才会发生的概率与之前失败次数无关，简单点说就是把过去的经历都忘了，这种性质称为无记忆性）

EX=1/p

六、巴斯卡分布

在伯努利实验中，以r次成功时，试验的次数X为随机变量，

$P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}q^{k-r}p^{r}，k=r,r+1,...$

称X服从参数为p的巴斯卡分布。

七、负二项分布

X为离散型随机变量，其可能取值为0,1,2....的概率为

$P(X=k) = C_{-r}^kp^r(-q)^k =C_{r+k-1}^kp^rq^k，k=0,1,2,...$

其中r为常数大于0，称X服从负二项分布

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