不等式之目：2014年理数全国卷A题24

不等式之目：2014年理数全国卷A题24

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-08 18:22 被阅读0次

2014年理数全国卷A题24

（24）（本小题满分10分）选修4-5∶不等式选讲
若 $a>0，b>0$ ，且 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \sqrt{ab}$
（I）求 $a^3+b^3$ 的最小值;
（Ⅱ）是否存在 $a,b,$ 使得 $2a＋3b=6$ ? 并说明理由.

【解答问题I】

∵ $a>0，b>0$ ，

∴ $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}$ ,

又 ∵ $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \sqrt{ab}$ ，

∴ $\sqrt{ab} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}$

∴ $ab \geqslant 2$

$a^3b^3 \geqslant 8$

$a^3+b^3 \geqslant 2 \sqrt{a^3b^3}$

$a^3+b^3 \geqslant 4 \sqrt{2}$ .

结论： $a^3+b^3$ 的最小值为 $4\sqrt{2}$ .

【解答问题Ⅱ】

∵ $2a+3b \geqslant 2 \sqrt{2a \cdot 3b}$

根据问题I的结论有： $\sqrt{ab} \geqslant \sqrt{2}$

∴ $2a+3b \geqslant 4 \sqrt{3} \gt 6$

结论：若 $a,b$ 均为正数，则 $2a＋3b=6$ 无解.

【提炼与提高】

本题难度较低。根据基本不等式，很容易解答，适合用作不等式部分的同步补充习题。

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