矩阵的运算
加法
定义:给定两个矩阵
,
称为A与B的和,记作
注:
1.矩阵的加法即矩阵对应元素相加,相加的矩阵必须为同型矩阵
2.同型矩阵:有相同的行数和列数的矩阵
3.
运算规律:
1.结合律:
2.交换律:
3.零矩阵:元素全为零的矩阵,记作,简记作
4.负矩阵:称为矩阵A的负矩阵,记作
5.矩阵减法:
乘法
定义:设,,则,其中称为A与B的乘积,记作
注:
1.矩阵A与B的乘积C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积的和
2.作乘积要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等
例:若为一线性方程组的系数矩阵,,分别是未知量和常数项所成的和矩阵,则线性方程组可写成矩阵形式
运算规律:
1.结合律:设,,,则
证明:
2.交换律不满足:一般,
3.消去律不满足:一般,
例:
,
乘法与加法运算规律:
单位矩阵
定义:主对角线上的元素全是1,其余元素全是0的矩阵称为n级单位矩阵,记作,简记作
注:,
方幂
定义:给定矩阵A,,
注:
1.就是k个A连乘
2.方幂只能对方阵定义
一般,
数量乘法
定义:矩阵称为矩阵与数k的数量矩阵,记作
注:用数k乘矩阵即把矩阵的每个元素都乘k
运算规律:
1.
2.
3.
4.
5.
证明5:
数量矩阵
定义:矩阵称为数量矩阵
注:若A为一个矩阵,则
数量矩阵与所有的矩阵作乘法是可交换的,若一个n级矩阵与所有n级矩阵作乘法都是可交换的,则这个矩阵一定是数量矩阵
规律:
转置
定义:给定,称为A的转置
注:矩阵的转置是矩阵
规律:
1.
2.
3.
4.
证明3:
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