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高等代数理论基础27:矩阵的运算

高等代数理论基础27:矩阵的运算

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-08 07:04 被阅读68次

矩阵的运算

加法

定义:给定两个矩阵A=(a_{ij})_{sn}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix}

B=(b_{ij})_{sn}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{s1}&b_{s2}&\cdots&b_{sn}\end{pmatrix},

C=(c_{ij})_{sn}=(a_{ij}+b_{ij})_{sn}

=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}+b_{s1}&a_{s2}+b_{s2}&\cdots&a_{sn}+b_{sn}\end{pmatrix}

称为A与B的和,记作C=A+B

注:

1.矩阵的加法即矩阵对应元素相加,相加的矩阵必须为同型矩阵

2.同型矩阵:有相同的行数和列数的矩阵

3.r(A+B)\le r(A)+r(B)

运算规律:

1.结合律:A+(B+C)=(A+B)+C

2.交换律:A+B=B+A

3.零矩阵:元素全为零的矩阵,记作O_{sn},简记作O

A+O=A

4.负矩阵:\begin{pmatrix}-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ -a_{s1}&-a_{s2}&\cdots&-a_{sn}\end{pmatrix}称为矩阵A的负矩阵,记作-A

A+(-A)=O

5.矩阵减法:A-B=A+(-B)

乘法

定义:设A=(a_{ij})_{sn},B=(b_{ij})_{nm},则C=(c_{ij})_{sm},其中c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}称为A与B的乘积,记作C=AB

注:

1.矩阵A与B的乘积C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积的和

2.作乘积要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等

例:若A=(a_{ij})_{sn}为一线性方程组的系数矩阵,X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_s\end{pmatrix}分别是未知量和常数项所成的n\times 1s\times 1矩阵,则线性方程组可写成矩阵形式AX=B

运算规律:

1.结合律:设A=(a_{ij})_{sn},B=(b_{ij})_{nm},C=(c_{kl})_{mr},则(AB)C=A(BC)

证明:

令V=AB=(v_{ik})_{sm},W=BC=(w_{jl})_{nr}

其中,v_{ik}=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jk}(i=1,2,\cdots,s;k=1,2,\cdots,m)

w_{jl}=\sum\limits_{k=1}^mb_{jk}c_{kl}(j=1,2,\cdots,n;l=1,2,\cdots,r)

(AB)C=VC

VC第i行第l列元素为

\sum\limits_{k=1}^mv_{ik}c_{kl}=\sum\limits_{k=1}^m(\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jk})c_{kl}

=\sum\limits_{k=1}^m\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jk}c_{kl}

A(BC)=AW

AW第i行第l列元素为

\sum\limits_{j=1}^na_{ij}w_{jl}=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(\sum\limits_{k=1}^mb_{jk}c_{kl})

=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^ma_{ij}b_{jk}c_{kl}

=\sum\limits_{k=1}^m\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jk}c_{kl}\qquad\mathcal{Q.E.D}

2.交换律不满足:一般,AB\neq BA

3.消去律不满足:一般,AB=AC\nRightarrow B=C

例:

A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}

AB=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

BA=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}2&2\\-2&-2\end{pmatrix}

乘法与加法运算规律:

A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA

单位矩阵

定义:主对角线上的元素全是1,其余元素全是0的n\times n矩阵\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{pmatrix}称为n级单位矩阵,记作E_n,简记作E

注:A_{sn}E_n=A_{sn},E_sA_{sn}=A_{sn}

方幂

定义:给定n\times n矩阵A,k,l\in Z_+,\begin{cases}A^1=A\\A^{k+1}=A^{k}A\end{cases}

注:

1.A^k就是k个A连乘

2.方幂只能对方阵定义

A^kA^l=A^{k+l}

(A^k)^l=A^{kl}

一般,(AB)^k\neq A^kB^k

数量乘法

定义:矩阵\begin{pmatrix}ka_{11}&ka_{12}&\cdots&k_{1n}\\ ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ ka_{s1}&ka_{s2}&\cdots&ka_{sn}\end{pmatrix}称为矩阵A=(a_{ij})_{sn}与数k的数量矩阵,记作kA

注:用数k乘矩阵即把矩阵的每个元素都乘k

运算规律:

1.(k+l)A=kA+lA

2.k(A+B)=kA+kB

3.k(lA)=(kl)A

4.1A=A

5.k(AB)=(kA)B=A(kB)

证明5:

设A=(a_{ij})_{sn},B=(b_{ij})_{nm}

在k(AB),(kA)B,A(kB)中,(i,t)的元素依次为

k\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jt},\sum\limits_{j=1}^n(ka_{ij})b_{jt}=k\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jt},\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(kb_{jt})=k\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{jt}

显然三个式子相等\qquad\mathcal{Q.E.D}

数量矩阵

定义:矩阵kE=\begin{pmatrix}k&0&\cdots&0\\ 0&k&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&k\end{pmatrix}称为数量矩阵

注:若A为一个n\times n矩阵,则kA=(kE)A=A(kE)

数量矩阵与所有的n\times n矩阵作乘法是可交换的,若一个n级矩阵与所有n级矩阵作乘法都是可交换的,则这个矩阵一定是数量矩阵

规律:

kE+lE=(k+l)E

(kE)(lE)=(kl)E

转置

定义:给定A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix},A'=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{s1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{s2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix}称为A的转置

注:s\times n矩阵的转置是n\times s矩阵

规律:

1.(A')'=A

2.(A+B)'=A'+B'

3.(AB)'=B'A'

4.(kA)'=kA'

证明3:

设A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1m}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2m}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nm}\end{pmatrix}

AB中(i,j)元素为\sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}

\therefore (AB)'中(i,j)元素为\sum\limits_{k=1}^na_{jk}b_{ki}

B'中(i,k)元素为b_{ki},A'中(kj)元素为a_{jk}

\therefore B'A'中(i,j)元素为\sum\limits_{k=1}^nb_{ki}a_{jk}=\sum\limits_{k=1}^na_{jk}b_{ki}

即(AB)'=B'A'\qquad\mathcal{Q.E.D}

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