给定一个函子和他的限制，我们用表示对象L。这个记号有时会产生歧义，因为他没有提及D中的箭头，不过小心使用的话，这种记号在计算限制和余限制时就很有用。
我们现在对这样的函子限制感兴趣。并且将证明交换性。
对于每个固定对象C，存在函子
于是限制就是这个函子的限制。
现在每个态射对应于每个对象D都可诱导出一个箭头
而且，对于每个箭头上图是交换的。
也就是说，每个箭头诱导一个自然变换
假定存在，那么复合
显然构成了函子的一个锥，并且有唯一分解记作
于是定义新的函子
我们需要证明这确实是个函子。这样那样，就证明了是个函子。
前面的函子L的限制，当存在时，实际上就是双重限制，对于
有同样的描述。
交换性意味着连接这两个限制的标准态射就是同构。这比存在某个同构的条件还要强。现在我们来描述这样的标准态射。
从L的限制开始，有这样的对应投射。
对于固定的对象和某个态射，就有性质。证明了复合构成了
上的一个锥。
巴拉巴拉，得到了互逆的同构。
考虑一个完备范畴，和两个小范畴。给定函子，交换性成立。
a.将两个集合视为离散范畴，函子就是A的对象族。当A带积时，交换性就是积的广义交换律。
b.将集合I视为离散范畴，平行箭头2范畴，函子就是A中箭头对，当A是完备的，交换性就化简为角对的交换性。
公式打起来很费事，然后是内容，感觉不好玩，限于繁琐之中，姑且还是看下去吧。虽然普遍，但感觉越来越遥远，还是希望能够多一些初等的例子。高等的例子即使推出来了，但因为不理解也记不住。
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