滤子和网

 经过了一番沉淀，再来看看这两个概念。

滤子也好，网也好，是为了描述收敛性的。这个收敛性在度量空间中就是收敛序列，在一点之渐缩邻域序列中各取一个点，就做出了收敛于这个点的序列。但是，并不是所有的拓扑空间都是度量空间，对于一般的拓扑空间来说，收敛性依然存在，只是不能够用收敛序列来描述了。这就是引入滤子和网的原因。

滤子和网是两种不同的描述方式，一般只取其一即可。

滤子是空间的特殊子集族，具有三个性质，对有限交封闭，向上包含，不含空集。

具体解释：

对有限交封闭就是对于任意的

向上包含意味着

不含空集就是

这些性质其实和拓扑的定义的差不多，任意并，有限交，包含全集和空集，滤子不包含空集，所以不是拓扑，但是滤子加上空集就是拓扑了。拓扑减去空集，不一定是滤子，因为向上包含性比任意并要强，毕竟任意并是从拓扑内的集合而来的，向上包含是对任意子集而言的。拓扑和全部子集族显然是不相等的。

有一种形象的方式来把握滤子的概念，就是将空间的所有子集按照包含关系组织成格，或者说偏序集，滤子就是从某一个集合出发，向上包含所有含此集合的集合。

所以，可以就此定义出集合生成的滤子，将出发的集合视为生成子，可以唯一生成出一个滤子。当这个集合是单点集时，就称为该点的主滤，就像主理想一般，从单点出发生成出一个结构。其实也可以称之为邻域滤子，就像邻域系一般，包含某点的任意邻域构成的子集族就是一个滤子。

所以，虽然使用滤子语言是为了克服收敛序列的局限性，但是，这个收敛的图景并没有发生变化。就像点集收敛和集合收敛一般，点集收敛非常形象，集合收敛就比较抽象，但是他们说的其实是一件事情，随着索引值的增大，结构趋向于一个稳定的形式。

滤子就是起到了这样的一个转换的作用，所以很多关于收敛的基本性质可以无碍的推广到滤子语言，或者可以这样说，通过滤子可以把度量空间中收敛序列理论推广到非度量空间。

超滤，就像极大理想一般，是滤子序列的一种极限形式，就像除环自身外，每一个理想必然含于一个极大理想，除空间外，每一个滤子必然含于一个超滤。超滤是一种特殊的滤子，所以滤子所含性质，他都具有。超滤的一个重要性质是，空间中的子集和补集，有且只有一个可以位于超滤中。

当一个点含于滤子时，就称这个滤子收敛于该点，所有含有这个点的集合其实就都在这个滤子中了。这种收敛性是唯一的，当空间是豪斯多夫时。这个豪斯多夫性也遇见过很多次，保证了极限的唯一性。

然后是网的概念，网的定义，

网就是有向集到空间的映射，有向集就是向上包含的有序集，看起来就像是滤子的翻版，只不过滤子是在空间自身上面构建的，而有向集是单独定义的，经过映射施加在空间上。有向集，不一定是线性序的，就像区间的分割与加细，显然也是一种有向集，但是和通常的自然数序集差异很大。所以网就可以视为收敛序列在序结构上的推广。从自然数序列推广到有向集序列。

关于网的定义，似乎有些迂回，想要获得一个收敛的网，应该也不太容易，毕竟集合函数本身并不能保持各种特殊性质，这就需要外加定义。相比于滤子的收敛，就显得有些多余。这也是结构定义的一种选择，简单的结构需要外加约束，才能同复杂结构等价。

深入的东西，就算了，仅作了解就足够了，起因还是看书时遇见了网的概念，所以想要深入了解一些。