3个蜡烛台乘5个马车夫=？

“如果用3个蜡烛台乘5个马车夫，得数该是多少？”——伽莫夫，《我的世界线》，pp19

只有同类的量才能相加。

比如：

1苹果 + 1鸭梨

是没有意义的。

说

1苹果=1鸭梨

也是没意义的。

我们这里对相等的规定是数字和数字相同，而单位要和单位一样。

（在物理中，我们经常使用“表示为”——$\to$或$\doteq$——这个概念，这是和等于不同的概念。我们可以用一个二分量的列向量去表示自旋的状态，但自旋、自旋的状态、二分量的列向量并不是一类的东西。如果是建立表示的话，我们是可以用苹果去表示鸭梨的。）

但

1水果 + 1水果 = 2水果

就有意义。

我们管1叫数字，苹果叫单位，[苹果]叫量纲。

英文的量纲是dimension，dimension有尺寸和维度的意思。

乘法的定义是这样的：

1苹果 x 2鸭梨 = 2 苹果·鸭梨

即数字和数字乘，单位和单位乘，所谓单位和单位乘就是把苹果和鸭梨并列，得到新的类，或新的单位——“苹果·鸭梨”，苹果·鸭梨的量纲是：

[苹果·鸭梨] = [苹果] x [鸭梨]

举例而言，物理里面功的定义是：

$W = F_l \cdot l$

功是力$F$乘位移$l$，功的单位是焦耳，功的量纲是：

[功] = [力] x [长度]

我们希望把任意物理量的量纲都表示为几个基本物理量的量纲的表达，在力学中我们选：长度、质量和时间。

那么力的量纲是什么呢？

由牛顿第二定律：

$F = m a$

力的量纲是：

[力] = [质量] x [加速度]

加速度的定义是：

$a = \frac{d v}{d t} = \frac{d^2 x}{dt^2}$

加速度的量纲是：

[加速度] = [长度] [时间]^{-2}

因此功的量纲是：

[功] = [质量] [长度] [时间]^{-2} [长度] = [质量] [长度]^2 [时间]^{-2}

我们可以证明功的量纲和动能的量纲是一样的，它们是同一类的物理量。

动能的定义是：

$K = \frac{m v^2}{2}$

动能的量纲是：

[动能] = [质量] [长度]^2 [时间]^{-2}

弧度是没有量纲的，这与我们对弧度的定义有关。

考虑一段圆弧，圆弧所对的角度是$\theta$，或说我们由角度$\theta$，半径$R$，得到一段圆弧，假设圆弧的长度是$L$。

圆弧长度$L$正比于角度$\theta$，也正比于半径$R$，

我们定义：

$L = R \theta$

圆弧$L$和半径$R$的量纲都是长度。

这样定义的角度$\theta$是无量纲的。

一些例子：

（1）

5米 x 6米 = 30 米·米

“米·米”和“米”不是一类的，我们管“米·米”叫面积，而“米”叫长度。

（2）

0.1 元 x 0.1 元 = 0.01 元·元

“元”是货币单位，“元·元”和“元”不是一类的，0.01自然不是对货币多少的度量。

（3）

请证明量子普适电导率$\frac{e^2}{h}$的量纲是电导率的量纲，这里$e$是电子的电荷，$h$是普朗克常数。

（4）

在物理中还会出现这样的表达，比如：

$A e^{i (kx - \omega t)}$

这里在$e$指数里面，$kx - \omega t$ 解释为角度，是无量纲的。

$x$的量纲是[长度]，$k$波矢的量纲是[长度]^{-1}

波矢的定义是：

$k = \frac{2 \pi}{ \lambda}$

即空间上每增加长度份额$\lambda$，相位（无量纲）会增加$2 \pi$，即重复一周期重回起点。

（5）

对包含$e$指数的物理公式，考虑到：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + …$

$x$只能是无量纲的，$e^{x$也是无量纲的，否则就会造成$e}x$有不确定的量纲，这是不可能的。

比如（放射性）衰减公式：$A = A_0 e^{- t / \tau}$，$t$的量纲是[时间]，$\tau$的量纲也是[时间]，我们把$\tau$解读为“寿命”。