高等代数理论基础73：辛空间

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-04-23 00:57 被阅读2次

辛空间

定义：设V是数域P上的线性空间,在V上定义了一个非退化双线性函数,则V称为一个双线性度量空间

当f是非退化对称双线性函数时,V称为P上的正交空间

当V是n维实线性空间,f是非退化对称双线性函数时,V称为准欧氏空间

当f是非退化反称双线性函数时,V称为辛空间,有非退化双线性函数f的双线性度量空间记作 $(V,f)$

性质

1.辛空间 $(V,f)$ 中一定能找到一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_{-1},\varepsilon_{-2},\cdots,\varepsilon_{-n}$ 满足

$f(\varepsilon_i,\varepsilon_{-i})=1,1\le i\le n$

$f(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0,-n\le i,j\le n,i+j\neq 0$

这样的基称为 $(V,f)$ 的辛正交基

辛空间一定是偶数维的

2.任一2n级非退化反称矩阵K可把一个数域P上2n维空间V化成一个辛空间,且使K为V的某基 $e_1,e_2,\cdots,e_n,e_{-1},e_{-2},\cdots,e_{-n}$ 下的度量矩阵

又此辛空间在某辛正交基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_{-1},\varepsilon_{-2},\cdots,\varepsilon_{-n}$ 下的度量矩阵为

$J=\begin{pmatrix}O&E\\-E&O\end{pmatrix}$

故K合同于J

即任一2n级非退化反称矩阵都合同于J

辛同构

两个辛空间 $(V_1,f_1)$ 及 $(V_2,f_2)$ ,若有 $V_1$ 到 $V_2$ 的作为线性空间的同构 $\mathscr{K}$ 满足

$f_1(u,v)=f_2(\mathscr{K}u,\mathscr{K}v)$ ,则称 $\mathscr{K}$ 是 $(V_1,f_1)$ 到 $(V_2,f_2)$ 的辛同构

注：

1. $(V_1,f_1)$ 到 $(V_2,f_2)$ 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把 $(V_1,f_1)$ 的一组辛正交基变成 $(V_2,f_2)$ 的辛正交基

2.两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数

辛变换

辛空间 $(V,f)$ 到自身的辛同构称为 $(V,f)$ 上的辛变换

取定 $(V,f)$ 的一组辛正交基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_{-1},\varepsilon_{-2},\cdots,\varepsilon_{-n}$ ,V上的一个线性变换 $\mathscr{K}$ 在该组基下的矩阵为 $K$

$K=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$

其中 $A,B,C,D$ 都是 $n\times n$ 方阵

则 $\mathscr{K}$ 是辛变换当且仅当 $K'JK=J$ ,

当且仅当 $A'C=C'A,B'D=D'B,A'D-C'B=E$

易证 $|K|\neq 0$

辛变换的乘积、辛变换的逆变换都是辛变换

辛正交

设 $(V,f)$ 是辛空间, $u,v\in V$ 满足 $f(u,v)=0$ ,则称 $u,v$ 为辛正交的

W是V的子空间

令 $W^{\perp}=\{u\in V|f(u,w)=0,\forall w\in W\}$

$W^{\perp}$ 显然是V的子空间,称为W的辛正交补空间

定理： $(V,f)$ 是辛空间,W是V的子空间,则 $dim(V^{\perp})=dim(V)-dim(W)$

证明：

$取V的一组基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{2n}$

$W的一组基\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_k$

$设f在\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{2n}下的度量矩阵为A$

$设\eta=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{2n})X$

$\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{2n})Y$

$其中X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_{2n}\end{pmatrix},Y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_{2n}\end{pmatrix}$

$分别是\eta及\varepsilon在基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{2n}下的坐标向量$

$\therefore f(\eta,\varepsilon)=X'AY$

$设W的基\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{k}在V的基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{2n}下的坐标向量为$

$X_1,X_2,\cdots,X_k$

$又f非退化,A可逆$

$\therefore k=秩\begin{pmatrix}X_1'\\X_2'\\\vdots\\X_k'\end{pmatrix}=秩\begin{pmatrix}X_1'\\X_2'\\\vdots\\X_k'\end{pmatrix}A$

$又\varepsilon\in W{\perp}\Leftrightarrow \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_k都与\varepsilon辛正交$

$\Leftrightarrow Y满足齐次线性方程组\begin{pmatrix}X_1'\\X_2'\\\vdots\\X_k'\end{pmatrix}AY=0$

$\therefore W^{\perp}与线性方程组解空间同构$

$且维数为2n-k$

$\therefore dim(V^{\perp})=dim(V)-dim(W)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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