1.非平稳序列

如时间序列不平稳，称为“非平稳序列” ，包括以下三种情形：

确定性趋势 结构变动 随机趋势 随机游走

• 称平稳的时间序列为“零阶单整”，记为 I(0)
• 如果时间序列的一阶差分为平稳过程，称为“一阶单整”，记为 I(1)， 也称为“单位根过程”。
• 如果时间序列的 d 阶差分为平稳过程， 称为“d 阶单整，记为 I(d)

• 对于 I(0)序列，由于它是平稳的，故长期而言有回到其期望值的趋势。这种性质称为“均值回复” 。

• 非平稳的 I(1)序列会“到处乱跑” ，没有上述性质。比如，随机游走的方差越来越大，趋向无穷。

• I(0)序列对过去行为只有有限记忆，即发生在过去的扰动项对未来的影响随时间而衰减。

• I(1)序列则对过去行为有无限长的记忆，即任何过去的冲击都将永久地改变未来的整个序列。

2.ARMA的平稳性

定义

什么情况下， ARMA(p, q)才平稳？
MA(q)是平稳的，因为它是有限个白噪声的线性组合。ARMA(p, q)的平稳性仅取决于 AR(p)的部分

AR(1)

稳定解：特征方程的所有解须落在复平面上的单位圆之外。如果特征方程的某个根落在单位圆之内，则为爆炸式增长的非平稳过程。
如果某个根正好落在单位圆之上，则称为“单位根” ，比如随机游走的情形。

AR(1)

3.VAR的平稳性

AR(p)的平稳性条件可推广到多维 VAR(p)的情形

VAR

4.单位根

对于 AR(1)模型，一般认为不可能出现自回归系数大于1的情形；否则任何对经济的扰动都将被无限放大。
通常只担心单位根的情形，即β₁=1 。
如果时间序列存在单位根，为非平稳序列，可能带来以下问题:

1. 自回归系数的估计量不服从渐近正态分布， t 检验失效
2. 两个相互独立的单位根变量可能出现伪相关或伪回归

如何避免伪相关或伪回归？

1. 先对 I(1)变量作差分，得到平稳 I(0)序列，再作回归。
2. “协整”。须先检验是否存在单位根。

单位根检验

• DF 检验使用一阶自回归来检验单位根，要求扰动项为白噪声，故扰动项无自相关。
• 如果扰动项存在自相关，可引入即滞后差分项，以保证扰动项为白噪声。此t 统计量称为“Augmented Dickey-Fuller 统计量” (简记 ADF)

关于常数项与时间趋势项
ADF 检验是否应带常数项或时间趋势项， 首先应从理论上考虑。比如，考察 GDP 对数是否有单位根，一般应包含时间趋势项；而利率、汇率等不应有时间趋势项。也可通过画时间序列图大致判断有无长期趋势。如无从判断，为稳健起见，可把各种情况都进行检验。

关于滞后阶数 p 的确定

滞后项

单整阶数确定

单整阶数

*导入数据集
use nelson_plosser.dta, clear
*画图
tsline lrgnp lun if year >= 1890, lp(dash) xlabel(1890(10)1970)

趋势图

实际 GNP 对数(虚线)有明显的上升趋势；且较为光滑，当期值强烈依赖于上期值，自回归系数接近于 1，可能为单位根过程。失业率对数看不出有什么趋势，较不光滑，自回归系数明显小于 1，不太可能为单位根过程。

ADF ADF

情形 2，虽然真实模型不含漂移项(无常数项)，但在 ADF 检验的回归方程中依然包括了常数项。

先考虑带常数项和时间趋势项：

*DF检验
dfuller lrgnp, trend

DF

由于 DF 统计量 Z(t)为–2.026 > –3.489(左边单侧检验)， 故可在5%的水平上接受“存在单位根”的原假设。

考虑到扰动项可能存在自相关，使用更高阶的ADF检验：

ADF检验
di 12(62/100)^(1/4)
dfuller lrgnp, lags(9) trend reg

以下是p hat =10进行的ADF检验：

ADF

时间趋势项(_trend)很显著( p值为 0.017)，但最后一阶滞后项L9D.)在 5%的水平上并不显著。依次去p=9,...3,进行ADF检验，会发现最后一阶滞后项仍不显著

接下来令p hat = 2有：

*ADF检验
dfuller lrgnp, lags(1) trend reg

ADF

最后一阶滞后项(LD.)在 1%的水平上显著地不等于 0。ADF 统计量 Z(t)为–2.994 > –3.490，无法在 5%的水平上拒绝单位根的原假设。可认为实际 GNP 对数 lrgnp 含有单位根。

检验lrgnp的一阶差分是否为平稳过程：

*画图
tsline d.lrgnp if year >= 1890, xlabel(1890(10)1970)

趋势图

由上图可知d.lrgnp 已不存在时间趋势，检验时不带时间趋势项

*DF检验
dfuller d.lrgnp

DF

ADF 统计量 Z(t)为–5.322 < –3.566，可在 1%的水平上拒绝单位根的原假设，认为lrgnp 为平稳过程。

由此可知， lrgnp 为 I(1)过程

5.协整

对于单位根变量，传统的处理方法是先差分，然后对平稳序列建模。但差分后变量的经济含义与原序列并不相同，而有时仍希望用原序列进行回归。如果多个单位根变量之间由于某种经济力量而存在“长期均衡关系” ，则可能进行这种回归。例如：短期利率与长期利率可能都是单位根过程，且二者的走势很相似。
基本思想：如果多个单位根序列拥有“共同的随机趋势”， 则可对这些变量作适当的线性组合而消去此随机趋势，从而得到平稳序列。

*导入数据集
use macro_3e.dta, clear
*设定时间序列
tsset time
*画图
tsline fygm3 fygt1, lp(dash)

画图 协整

一组 I(1)变量之间协整关系的个数称为“协整秩” (cointegrationrank)，即线性无关的协整向量的个数

如何判断一组 I(1)变量间是否存在协整关系？
首先，这些变量须在理论上可能存在长期均衡关系；否则，协整分析没有意义。
其次，如果只有两个变量，可直接画图，看二者时间趋势。但此法不严格，也不适用于两个以上的变量。
Engle and Granger (1987)提出EG-ADF 检验

EG-ADF 法的缺点是，不能处理存在多个协整关系的情形。
由于 EG-ADF 法分两步进行，第一步估计的误差被带到第二步中，故不是最有效率的方法。比 EG-ADF 法更有效率的方法是 MLE，同时估计所有参数。

协整分析一般主要关注长期均衡关系(协整关系)，不太关心短期调整过程。

*导入数据集
use mpyr.dta, clear
*画图
tsline logmr logy r, lp(solid dash shortdash) xlabel(1900(10)1990)

趋势图

从图中可以得知：

• 实际货币对数与收入对数的时间走势较接近，名义利率似乎与实际货币对数反向变动。 (log mr, log y, r)可能存在长期均衡关系，即为协整系统
• 三个变量似乎都存在时间趋势

第一步确定该系统的协整秩，即究竟有多少个线性无关的协整关系

*检验VAR滞后阶数
varsoc logmr logy r

VAR

AIC选择滞后二阶，BIC选择滞后一阶，为了保守起见，选择滞后二阶

*协整秩检验
vecrank logmr logy r, lags(2) trend(trend) max

协整秩检验 协整秩

• 迹检验表明（打星号者），只有一个线性无关的协整向量
• 最大特征值检验也表明，可在 5%的水平上拒绝“协整秩为 0”的原假设，但无法拒绝“协整秩为 1”的原假设(14.8985 < 16.87)。

因此，选择协整秩为1

第二步，使用MLE方法估计该协整系统的向量误差修正模型（VECM）

*VECM
vec logmr logy r, lags(2) rank(1)

VECM 1
2 3

以上为VECM和协整方程，主要对货币需求函数感兴趣，即协整方程所代表的长期均衡关系。

结果

第三步，对模型的假设进行诊断性检验，主要包括残差有无自相关，模型的平稳性

*残差的自相关检验（LM）
veclmar

LM

可接受“无自相关”的原假设

*VECM系统稳定性
vecstable, graph

单位根检验

除了 VECM 模型本身所假设的单位根之外，伴随矩阵的所有特征值均落在单位圆之内，故是稳定系统。