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同济高等数学第七版1.9习题精讲（续）

同济高等数学第七版1.9习题精讲（续）

作者: 解冒号 | 来源:发表于2019-10-11 20:50 被阅读0次

3.求下列极限：

(1) \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{2}-2 x+5} ; \quad (2) \lim _{\alpha \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\sin 2 \alpha)^{3}
(3) \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \ln (2 \cos 2 x) ; \quad (4) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}
(5) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x-4}-\sqrt{x}}{x-1} ; \quad (6) \lim _{x \rightarrow \alpha} \frac{\sin x-\sin \alpha}{x-\alpha}
(7) \lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x}) ; \quad (8) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-\frac{1}{2} x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}-1}{x \ln (1+x)}

解：(1) \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{2}-2 x+5} =\sqrt5此题直接代入求解，因为初等函数在定义域内连续。
(2) \lim _{\alpha \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\sin 2 \alpha)^{3}=1此题直接代入求解，因为初等函数在定义域内连续。
(3) \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \ln (2 \cos 2 x) =\ln1=0; \quad 此题直接代入求解，因为初等函数在定义域内连续。
(4) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{2}此题需要进行有理化。
(5) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x-4}-\sqrt{x}}{x-1} =\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{5 x-4}-\sqrt{x})(\sqrt{5x-4}+\sqrt x)}{(x-1)(\sqrt{5x-4}+\sqrt x))}=\lim _{x \rightarrow 1}\frac{4(x-1)}{(x-1)(\sqrt{5x-4}+\sqrt x)}=2同样需进行有理化
(6) \lim _{x \rightarrow \alpha} \frac{\sin x-\sin \alpha}{x-\alpha}=\lim _{x \rightarrow \alpha} \frac{2\sin(\frac{x-\alpha}{2})cos(\frac{x+\alpha}{2})}{x-\alpha}=\lim _{x \rightarrow \alpha} \frac{\sin(\frac{x-\alpha}{2})cos(\frac{x+\alpha}{2})}{\frac{x-\alpha}{2}}=\cos\alpha使用相应的公式，在后续的课程中对此题会有洛必达法则更为简便的求解方法。
(7) \lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x})=\lim _{x \rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x})(\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x^{2}-x})}{(\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x^{2}-x})} \\=\lim _{x \rightarrow \infty}\frac{2x}{(\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x^{2}-x})}=\lim _{x \rightarrow \infty}\frac{2}{(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}})}=1; \quad 写出一个分母1，之后进行分子有理化。
(8) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-\frac{1}{2} x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}-1}{x \ln (1+x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2} x^{2}*\frac{2}{3}}{x^2}=-\frac{1}{3}使用无穷小量等价代换。

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