函数与导数之目：2022年新高考全国卷题22问题2

2022年新高考全国卷题22

分值：12分

已知函数 ( 是自然对数底数 )

（1）当 时，讨论函数 的单调性;

（2）当 时，证明：.

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【解答问题2】

定义域为 ,

当 时，

记

函数 在 上单调递增；

∴ 函数 在 上有唯一的零点；且零点在区间 内；

∴ 导函数 在 上有唯一的零点；且零点在区间 内；

记该零点为 , 则 , ;

∴

令 ,

则

∵ 函数 单调递增且 ,

∴

又∵ ,

∴ ,

∴

∴

∵ 在 上单调递增；,

,

∴ 当 ;

当 ;

∴ 是函数 的唯一极大值点，也是最大值点,

∴ . 证明完毕.

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【提炼与提高】

这是2022年的压轴大题，难度确实比较高。

对于这类难题，多数老师会建议学生放弃。笔者认为：根据自己的实力，在考试中过程中放弃一部分题目，是正确的策略；但在备考过程中，还是应该勇敢地挑战难题，这样水平才会不断提高。假如见到难题就绕开，水平是难以提升的。

本题解答中用到的方法和技巧，在以前的考题中是出现过的。详见下节的相关考题。

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【相关或相似的考题】

2018年文数全国卷A题21

2015年文数全国卷A题21

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