地标性高考数学题：2013年数学全国卷A题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-25 18:05 被阅读0次

地标性高考数学题：2013年数学全国卷A题21
高考数学客观题：2022年新高考数学全国卷题13~题14
2022年的高考题目真的那么难吗？
2019高考
高考数列客观题：2022年新高考数学全国卷题4
把时间当朋友
儿童笑话：“这熊孩子说磕了这么多头一个红包也没有”
十二年前的超难高考题，正确率不足2％，院士甚至感叹，太难了！
不吃读书的苦，就吃生活的苦
解析几何之目：弦长和面积：2014年理数全国卷A题20

椭圆：2013年数学全国卷A题21（文理同题）

（21）（本小题满分12分）

已知圆 $M:(x+1)^2+y^2=1,$ 圆 $N:(x-1)^2+y^2=9,$ 动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并且与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

（I）求 $C$ 的方程;

（Ⅱ） $l$ 是与圆 $P$ ，圆 $M$ 都相切的一条直线， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最长时，求 $|AB|$ .

【解答第1问】

圆 $M$ 的圆心为 $M(-1,0)$ , 半径为 $1$ ; 圆N的圆心为 $N(1,0)$ , 半径为 $3$ .

记圆 $P$ 的半径为 $R$ ，则 $|PM|=1+R,\;|PN|=3-R$

∴ $|PM|+|PN|=4$

∴ 点 $P$ 的轨迹是以 $M,N$ 为焦点的椭圆，且 $2a=4,c=1$ .

$b^2=a^2-c^2=3$

∴ 曲线 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 (x \neq -2)$ .

【解答第2问】

如果以椭圆的左焦点为极点，极坐标方程为 $\rho=\dfrac{a(1-e^2)}{1-e \cos\theta}$

当 $\theta=0$ , $\rho$ 值最大，且 $\rho=a(1+e)=a+c$

所以， $|MP|$ 的最大值为 $a+c$ . 相应的点 $P$ 坐标为 $P(2,0)$ . 圆 $P$ 半径 $R=2$ .

圆 $M$ 与圆 $P$ 的公共切线共有 $3$ 条.

其中， $l_3$ 的方程为： $x=0$

这条直线与曲线 $C$ 的交点为 $(0,\sqrt{3}),(0,-\sqrt{3})$ , 相应的弦长为 $|AB|=2\sqrt{3}$

若直线方程为 $x=\lambda y +t$ , 其与椭圆的公共点满足如下方程：

$\left\{ \begin{array}\\ x=\lambda y +t \\ 3 x^2 + 4 y^2-12=0 \\ \end{array} \right.$

消元后得： $(3 \lambda^2+4) y^2 -6\lambda ty +3(t^2-4)=0$

$y_1+y_2= \dfrac {6\lambda t} {3\lambda^2+4}$

$y_1y_2= \dfrac {3(t^2-4)} {3\lambda^2+4}$

$(y_1-y_2)^2 = \dfrac {4 \times 12} {3\lambda^2+4} (3\lambda^2-t^2+4)$

$|AB|^2 = 4 \times 12 \times \dfrac { (\lambda^2+1)} { (3\lambda^2+4) } \times (3\lambda^2-t^2+4)$

$l_1,l_2$ 关于 $x$ 轴对称，两条直线所对应的弦长相等。只要求出其中一条即可。

如上图所示，经过切点的半径与切线垂直。记切线 $l_1$ 的倾角为 $\alpha$ , 则 $\sin\alpha= \dfrac {1} {3}$

$1 + \cot^2 \alpha = \dfrac {1} { \sin^2 \alpha } = 9$

$\cot ^2 \alpha = 8$

$\cot \alpha = \pm 2 \sqrt{2}$

$l_1,l_2$ 的方程为： $x = \pm 2 \sqrt{2} y - 4$

代入以上公式可得： $|AB| = \dfrac {9} {5}$

【提炼与提高】

高考命题的原则是：「基于教材，高于教材。」 此题可以称得上是这方面的典型范例。

为了成功解答本题，需要闯过以下关卡：

第1关：根据已知条件求 $C$ 的方程。

解答的关键在于：应用几何分析，得出结论：动点 $P$ 到 $M,N$ 的距离之和为定值。这是一道课本题。假如考生认真对待教科书的习题，第1问不难得分。

第2关：当圆 $P$ 的半径最长时，点 $P$ 在什么位置？

从直观上看，可以猜出结论：当点 $P$ 在椭圆的右顶点，圆 $P$ 的半径最长。但从数学角度来说，还需要加以论证。用椭圆的极坐标方程来论证，是效率较高的办法。

第3关：圆 $P$ 与圆 $M$ 的公切线有几条？

因为这两个圆相切，所以有3条公切线。其中一条与 $x$ 轴垂直，斜率不存在。部分考生可能因为漏解而丢分。

第4关：求椭圆的弦长

弦长问题是解析几何中的典型问题，典型的解法是用韦达定理。笔者提供的解法有两个特点：

1）直线方程设为 $x=\lambda y+t$ . 这种形式包含了倾角等于 $90°$ 的情况，不包含倾角为 $0$ 的情况。

2）没有使用 $\lambda,t$ 的具体值，而是带着参数计算，得出公式后，再代入具体的参数值，求出弦长。

这样做的原因在于：人在考场上高度紧张，在计算 $\lambda$ 或者 $k$ 值的过程中很容易出错；使用通用的形式计算，在平时多练习，完全可以做到又快又准。这一做法也算是一条考试的小技巧。

第5关：求公切线的方程

这里的关键是求出切线的倾角的正切（或者余切）。针对本题的具体情况，如果用代数方法，是比较麻烦的，但从几何角度分析，很快就得出结论。

总的说来，本题综合性较强。以有限的篇幅考查了以下几个方面的知识：

『直线与圆的关系』

『圆与圆的关系』

『求弦长的方法』

『数形结合，几何开路』

这样的题，就可以称为：地标性考题。

地标性高考数学题：2013年数学全国卷A题21
椭圆：2013年数学全国卷A题21（文理同题）（21）（本小题满分12分）已知圆圆动圆与圆外切...
高考数学客观题：2022年新高考数学全国卷题13~题14
2022年新高考数学全国卷题13 已知向量，若，则 2022年新高考数学全国卷题14 已知圆锥顶点为，底面的...
2022年的高考题目真的那么难吗？
小编看了今年两篇高考作文和全国卷数学题，猛然发现和我们那个时代的高考，发生了翻天覆地的变化。先看两篇高考作文。...
2019高考
最近听说今年高考的数学题很难，不过看到大家吐槽数学题瞬间笑崩了 1 考完语文...
高考数列客观题：2022年新高考数学全国卷题4
高考数列客观题：2022年新高考数学全国卷题4 正项等比数列的前项和为 , 若， , 则【解法...
把时间当朋友
不经意间距离自己当年高考已经过去21年。最近两周特别上周几乎全民持续不断热论高考，今年比较明显的数学题难，作文题...
儿童笑话：“这熊孩子说磕了这么多头一个红包也没有”
1、儿子：爸爸帮我做点数学题。我：什么数学题。儿子：可以伺候你的数学题。我一听好奇道：什么数学题能伺候我？儿子：加...
十二年前的超难高考题，正确率不足2％，院士甚至感叹，太难了！
2008年高考江西数学考卷的最后一题，说是高考史上最恐怖的数学题，应该没有异议。这道题到底有多难呢？最后这道压...
不吃读书的苦，就吃生活的苦
朋友发了关于高考改革培训的图片，让人觉得触目惊心，坦白讲，数学题我真不会做。未来高考趋于综合性考查，学科间...
解析几何之目：弦长和面积：2014年理数全国卷A题20
标签：高中数学高考真题解析几何 2014年理科数学全国卷一题20 （20）（本小题满分12分）已知点，椭...