解析几何纲目：椭圆大题：2010年文数全国卷题20

解析几何纲目：椭圆大题：2010年文数全国卷题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-30 22:16 被阅读0次

椭圆：2010年文科数学全国卷题20

20.（本小题满分12分）

设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $E: x^2 + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (0 \lt b \lt 1 )$ ，的左、右焦点，过 $F_1$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A，B$ 两点，且 $|AF_2|, |AB|, |BF_2|$ 成等差数列.

（1）求 $|AB|$ ;

（2）若直线 $l$ 的斜率为 $1$ ，求 $b$ 的值.

【解答问题1】

因为 $|AF_2|, |AB|, |BF_2|$ 成等差数列，所以 $2|AB| = |AF_2| + |BF_2|$

而 $|AB|=|AF_1| + |BF_1|$

根据椭圆的定义可知：椭圆 $E$ 的长半轴 $a=1$

$|AF_1| + |AF_2| = |BF_1| + |BF_2| =2a=2$

$|AB| + |AF_2| + |BF_2| = |AF_1| + |AF_2| + |BF_1| + |BF_2| = 4$

$3|AB|=4$

$|AB|=\dfrac{4}{3}$

【解答问题2：极坐标方法】

若以 $F_1$ 为原点，则椭圆 $E$ 的极坐标方程为： $\rho = \dfrac{a(1-e^2)}{1-e \cos\theta} (0 \leqslant \theta \lt 2\pi)$

若记点 $A,B$ 所对应的极角为 $\theta, \pi+\theta$ , 则

$|AB|=a(1-e^2)(\dfrac{1}{1-e\cos\theta}+\dfrac{1}{1+e\cos\theta})= \dfrac{2a(1-e^2)}{1-e^2 \cos^2\theta}$

$k=1 \Rightarrow\; \cos^2\theta=\dfrac{1}{2}$

$|AB|=\dfrac{4}{3} \Rightarrow\; e^2=\dfrac{1}{2} \Rightarrow\;c^2=a^2e^2=\dfrac{1}{2},\;b^2=a^2-c^2=\dfrac{1}{2}$

∴ $b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

【提炼与提高】

什么是椭圆？平面上到两个定点的距离等于定值的点的集合，就是椭圆。这是椭圆的第一定义。

涉及焦点弦问题，用极坐标方程来解决，往往起到事半功倍的效果。

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