换个姿势学数学：纳尼？对数居然是『作弊』神器😱

作者: d61f25068828 | 来源:发表于2019-02-28 14:21 被阅读38次

UX012

指数级增长

经济的高速增长

指数级增长的经济

经常在新闻上看到这种说法，感觉就是快，但是和指数有什么关系呢？

在经济发展良好的时候，我国GDP平均涨10%左右。

假设一开始的GDP是 $a$ ，则第二年，就是 $a·1.1$ ，第三年就是 $a·1.1·1.1$ 。

改革开放40周年，都这么增长的话，也就是 $a·(1.1)^{40}$ 。

从指数增长看改革开放伟大成就

改革开放40年经济数据回顾

明明也就是每年增长百分之 $10$ 而已嘛，100块过了一年才变成110块，好像也多买不了什么东西啊。

一开始的确感觉速度一般，但是看起来很小的一个数，只要是以指数形式进行增长，也就是“利滚利”，那么最后的结果一定是非常恐怖的。

可以对照函数图像看一下，在最初的时候就会给人“好像没有怎么增长”的错觉，因为图像非常的平缓。

但是只要给短短的一段时间，整个函数图像的斜率就会疯狂的增加，以至于几乎垂直。

突然剧增

负增长

反过来，如果是负增长的话，从函数角度来看，也就是 $0<a<1$ 。

是否能够进行指数爆炸性增长，关键性的因素是看底数 $a$ 。

这里我们可以用Geogebra做一个动图，展示一下。

底数的变化和指数增长

从图上可以清楚的看到，如果负增长的话，那么很快这个值就逼近0了，经济就迅速萎缩。

数学不好的国王

还有一个经典的故事，讲的也是这个道理，

国王打算奖赏象棋的发明人。他对国王说：“请您在棋盘的第 1 个小格里，放 1 粒麦子，在第 2 个小格放 2 粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。我想要这么多麦子”。

国王觉得这要求太容易满足了，就同意了。当人们开始计数时，才发现把所有麦粒全拿来，也满足不了要求。

总数 $18446744073709551615$ 粒，举全国之力生产500年才可以办到。

吐槽一下，幸好这个故事不发生在中国，否则这哥们脑袋估计是保不住了...

多啦A梦中的指数增长

动画片里也会拿这个作为题材，如果你看过哆啦A梦，大概会记得里面有个道具叫“倍增液”。

用上去之后，任何东西都会像细菌那样分裂，其实这也是指数增长。

大雄把倍增液滴到了栗子馒头上，后一个没吃完，回到家一看，满屋子都是这东西了。

栗子馒头海

作为催眠药的对数

对数是一种什么运算?

对数运算就是已知底数和幂数[1]，计算指数；所以，对数和指数说的是一回事。

用幂运算表示就是这样： $b^{{log}_b{(y)}}=y$ 。

可以看到，它的表示方法是 ${{log}_b{(y)}}$ ，其中的 $log$ 代表的就是对数运算(或者说对数函数)，之所以用 $log$ 是因为他的英文名叫做对数 $logarithm$ 。

$b$ 指的是底数，在对数函数里，这是一个常数； $y$ 就是幂数，在对数函数中也叫做“真数”，是这个函数的参数。

为什么对数难理解？

对数在这里面是最特别的：

从幂运算上的角度，对数函数的参数是幂运算的输出值。

刚刚谈到的幂函数和指数函数，分别是 $pow(x,a)$ 和 $pow(a,x)$ ，他们的参数和幂运算是一致的，所以怎么用怎么顺；而现在完全反过来了，所以怎么用怎么不顺。

对数―一个让许多学生闻名丧胆的词。- 《普林斯顿微积分》

天然催眠药

我曾经看到 $log()$ 就直犯恶心，总是要想半天“到底是求谁”。

然后我的脑袋里就出现了三个铁球转来转去的，之后就是脑袋发蒙，想睡觉。

转转转

所以，别人失眠的时候数羊，我一般是想 $log()$ ，我总是忘记他到底是啥意思，而且一想就晕，所以想一会儿就睡着了，特别灵验。

对数？为什么起这么操蛋的名字呢？用幂、指数和底数，起名字就不行吗？

为什么 $log()$ 是求指数的？

$log$ 的参数是真数，这个好理解的，之所以它看着难懂，就是因为它和幂运算是反着的。

那么，log函数的输出值到底是指数还是底数呢？

一定是指数。

因为求底数，不需要用这种特殊形式。

比如，求以 $2$ 为指数的 $4$ 的底数，其实就是对 $4$ 开方，而这个动作恰好就是幂运算本身： $\sqrt{4}$ = $4^\frac{1}{2}$ 。

所以用不着这么麻烦，这种特殊形式一定是给求指数准备的咯。

梳理一下乱乱的名字

名字实在是太乱了，梳理一下非常有必要。以这个代数式为例： $c=a^b$

代数名称

$c$ → 幂数&真数

$a$ → 底数

$b$ → 对数&指数&几次

运算名称

$a$ & $b$ 求 $c$ → a的b次幂(方)

$a$ & $c$ 求 $b$ → 以a为底的c的对数

$b$ & $c$ 求 $a$ → 开b次方& a的 $\frac{1}{b}$ 次方(幂)

为啥“幂数”也叫“真数”？

对数是清初的数学家薛凤祚和传教士穆尼阁翻译引进的。

➣为什么幂数也叫做“真数”？

因为最早的时候，把“对数”，翻译为“假数”，既然输出值是“假”，那么与它相对的概念输入值自然就是“
真”，幂数就叫做“真数”了。

➣为什么叫做“假数”？

没查到相关的资料，这个名字真的好怪。。

➣为什么又改成叫做“对数”？

一开始的时候确实是翻译为“假数”，但是后来用着用着就这么叫了。

因为这个名字和对数的实际应用有关，下面马上就会谈到了。

对数运算的规则

引入一个新的概念，最重要的事情就是制定兼容的运算规则。

对数运算(求指数)是幂运算的逆运算，之前我们已经谈过幂运算的规则了，那么这个也就非常简单了。

指数加法对应幂乘法，指数减法对应幂减法，指数乘法对应幂的幂，所以：

$log_aM+log_aN=log_a(MN)$
$log_aM-log_aN=log_a(M/N)$
$log_aM · log_aN=log_a({M}^{N})$

为了运算的方便，往往会使用以 $10$ 为底的对数，所以 $log_{10}N$ 可以简写为 $logN$ 或者 $lgN$ ，称为“常用对数”。

了不起的对数

对数是怎么来的？

偷偷告诉你，其实“对数”这个概念比“指数”出来的还要早呢。

➣指数的发明有什么用处呢？

充其量就是少写一些 $×$ ，最极致的用处无非就是科学计数法了，那要少写多少 $0$ 啊，真是太棒了。

对数更伟大，他的作用是把乘法运算变成加法。

➣为什么能做到这样呢？

仔细的看一下对数的运算规则，你就会懂了：化乘除为加减，化乘方开方为乘除，将高级运算降为次级运算。

最早使用这种方法来简化运算的是天文学家，因为要研究星体的运行轨道，需要进行大量的乘法计算，自从有了对数，大大提高了计算的效率。

对数用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍。 - 法国大数学家拉普拉斯

乘法和加法之间的桥梁

可以说对数是连接乘法和加法的桥梁。

对数是连接乘法和加法的桥梁

恐怖的指数增长世界和现实世界

如果说“幂”是倍增液，那么“对数”就是缩小灯了。

缩小灯

神器对数表

➣用对数来简化计算，具体是如何操作的？

具体的来说，人们是通过查对数表[2]实现的，就拿计算 $264*155$ 来举例子吧。

根据对数的运算法则，我们可以知道： $log^{264×155}=log^{264}+log^{155}$

只要得知对数 $log^{264×155}$ 的具体值 $L$ ，然后再从表中查出与他一一对应的真数 $N$ ，那么
真数 $N$ 也就是 $264×155$ 的计算结果了。

➣那怎么知道L？

$log^{264}$ 和 $log^{155}$ 都可以在对数表中查得到，查出来之后，只要做简单的加法， $L$ 就获得了。

➣那怎么找到真数 $N$ ？

还是通过对数表，知道对数之后，反过来自然就能查到，就像查字典一样。

具体操作

从查找资料来看，我国最后一本对数表是1977年出的，后来随着计算机的普及，也就没人用这个玩意儿了。

不过只用文字来描述，还是有点抽象，刚好我这里有一本对数表，那我们就实际的操作一下试试看。

步骤1：查 $log^{264}$ 和 $log^{155}$ 的值，计算对数 $L$

俯瞰对数表

对数表非常厚，一直可以查到五位数的真数，我们要计算的乘数还有三位，其实在前几页就可以找到。

log155

log264

果不其然啊，分别在第一页和第二页，就找到了。

➣ $190332$ 是什么意思呢？

这个对数表用的是“常用对数”，只有在遇到10的乘积时，对数才整数，而其它情况大多都是小数。
比如 $log^{10}=1$ ， $log^{11}=1.041393...$ ， $log^{11}=1.079181...$ ， $log^{100}=2$ 。

看到这个很容易就联想到， $log^{10}$ 到 $log^{100}$ 之间的所有对数，它们的整数位都是1。

既然整数一下子就看出来了，所以对数表上就没有写，写上去的六位只是小数而已，在这里称作"尾数"，前面那个整数叫"指标"。

所以我们就能够得知155的对数是 $2.190332$ ，264的对数是 $2.421604$ 。
那么 $log^{264×155}=log^{264}+log^{155}=2.190332+2.421604=4.611936$

步骤2：通过 $L$ 查到真数 $N$ ，计算出结果

➣那么接下来我们该怎么查到这个对数的真数呢?

我们可以看到，其整数为2，那么对应的 $N$ ，一定是 $100 00到100 000$ 之间的某个数，知道了之后，我们就开始迅速的翻这个表格,，翻的过程中你会发现，表格突然有了变化。

➣怎么从六位变成了四位?

六位变成了四位

因为真数到4位后，其尾数的前两位，相同的就非常多了，直接把前两位写在最前面，这样后面就可以省略了，就如同我们省略了整数(指标)一样。

知道这一点之后，我们就要先找到前两位 $61$ ，往后飞快的翻，发现在第67页出现了 $61$ 。

第67页出现了61

那么在慢慢的往后翻一下，看一看我们所需的 $1936$ 在哪里。

定位到 1936

这样我们也就得到了，其真数是 $40920$ 。计算完毕。

用现代的计算器进行验证[3]

现在用计算器来验证下。

用计算器验证

完全正确。

对数的名字

这样的话你就理解为什么叫做"对数"了吧，哈哈哈，本来就是一对儿一对儿来用的，想不这么叫也难呢。

工程师的象征

对数表的故事

纳皮尔是一位苏格兰贵族，对数值的计算有很深的研究。为了找到简化球面三角计算的方法，他也产生了发展对数的想法。1614 年，他在自己的书籍《奇妙的对数表的描述》上发布了自己的对数表。

只要手里有一张对数表，就可以以极快的速度进行各种运算。

17 世纪初，开普勒用这个神器计算了火星的轨道。没有对数的帮助，他也许就永远无法发现 “开普勒定律”——行星运动三定律，开普勒定律又为牛顿的物理学发现奠定了基础。

可以说，如果没有对数的话，现代科学还会晚诞生很多年。

1914年，对数发明300年时，庆典在爱丁堡举行，庆典上莫尔顿致辞道：“对数的发明犹如黑夜一道闪电划破长空，没有任何预兆。它未曾借助其他已知的智慧结晶，也未沿袭现存的数学理念，那么突然、孤立而又出乎人们意料地出现了。”

之后，英国数学家们，又启动了编著20位的对数表的大工程，以示庆祝。这个对数表最终在1949年才完成。

对数尺传奇

利用对数表运算，是可以非常精确的，但是你不得不翻来翻去的。

在很多领域，并不需要用到这么高的精度，只需要2到3位就可以了。

这个时候，人们就发明了对数尺，两个尺子之间的滑动代表加减，这样的话连查表都不需要了，唯一需要做的就是读数。

懒是人类进步的动力

在战场上，对数尺是炮兵们可靠的战友。

炮兵们使用对数尺

NASA用它来把人送上月球。

阿姆斯特朗和他的对数尺

在上世纪70年代之前，使用对数尺是必备的技能，也是工程师的象征。

曾几何时，工程师们视数尺为传家宝，在自己儿女上大学的时候是要郑重其事地传给他们的。

对数，其实就是信息时代来临之前计算器，它的实用性和重要性不言而喻。

对数尺是工程师的象征

数学发明几乎都是为了简化运算，都是为了偷懒。令你昏昏欲睡符号，数学家和工程师们却深爱着她。在不懂的时候，却强制用就只能是东施效颦了。

对数尺远离我们已经有几十年了，如果你很想领略一下对数尺的魅力，那么可以看一下这个视频。

作弊用具

现如今，对数尺以这样的方式又回到我们身边，喔~，这真是一种讽刺。

作为作弊用具的对数尺

注释

[1] 整个系列里面幂运算的结果都叫做幂数，但涉及到对数的时候，可能会叫做真数。没办法，这些名称实在是非常乱，得好好梳理一下你才能搞懂。

[2] 其实最初的两种对数表都不是十进制的，他们的底数都是 $1±极其小$ ，分别是 $b = 1.000 1$ 和 $b = 1 - 0.000 000 1 = 0.999 999$ 。这么做，自然是为了让变化速度尽可能小，以便于计算。其实这就涉及到差分的内容了。

[3] 更多数的情况并不是恰好能够查得到，而是落在两个数之间，如果要求精度比较高的话，根据差再查一下表就行了。

参考资料

《e的故事》
《图解数学学习法》
《数学史》
https://www.zhihu.com/question/33437910 @Tariel
https://www.zhihu.com/question/26097157 @马同学

QA

下一步准备谈什么呢？

本来我想继续谈指数和对数函数，但是看了一下克莱因的《高观点下的初等数学》，他说如果不学习一点复变函数，是没法真正的了解对数函数的。

所以下一步我准备把这一段先给绕过去，而先直接学习三角部分，然后直接学习导数以及积分，最后学习基础复变，再引出指数和对数函数。

克莱因谈对数函数

指数和对数函数的一种学习路径

为什么涉及如此多的数学史内容呢？

克莱因谈数学史的作用

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作者信息

我是心如止水，欢迎你和我换个姿势学数学。

心如止水：阅读思考践行