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折纸：2018年理数全国卷A题18：用体积公式求解

折纸：2018年理数全国卷A题18：用体积公式求解

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-11-09 07:59 被阅读0次

2018年理数全国卷A题18（12分）

如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把 \triangle DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF \perp BF.

（1）证明∶平面 PEF \perp平面ABFD;

（2）求 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值.

2018年理科数学全国卷A

【解答问题1】

∵ 四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，

∴ AE=BF, ABFE 是矩形，BF \perp EF

又 ∵ PF \perp BF, PF \cap EF =F, ∴ BF \perp 平面 PEF

又 ∵ BF \subset 平面 ABFD,

∴ 平面 PEF \perp平面ABFD. 证明完毕.

【解答第2问】

令 FC=1.

依题意可知：\triangle PDF \cong \triangle CDF,

∴ PF \perp PD, PF=1, PD=2.

∵ BF \perp 平面 PEF, （第1问中的结论）

又∵ DE//BF （四边形 ABCD 为正方形）,

∴ DE \perp 平面 PEF, 而 PE,PF \subset 平面 PEF,

∴ DE \perp PE, \; DE \perp PF

根据勾股定理可求得：PE=\sqrt{3}

S_{\triangle PED} = \dfrac {1} {2} DE \cdot PE = \dfrac {\sqrt{3}} {2}

V_{P-DEF} = \dfrac {1} {3} S_{\triangle PED} \cdot PF

∵ PF \perp DE, \; PE \perp PD, PD \cap DE=D,

∴ PF \perp 平面 PED,

记点 P 与平面 PED 的距离为 h, 则 V_{P-DEF} = \dfrac {1} {3} S_{\triangle DEF} \cdot h

S_{\triangle DEF} = \dfrac {1} {2} DF \cdot DF=1

h = \dfrac {S_{\triangle PED}} {S_{\triangle DEF}} \cdot PF = \dfrac {\sqrt{3}} {2}

DP与平面 ABFD 所成角的正弦值 =\dfrac {h} {PD} = \dfrac {\sqrt{3}} {4}.

【提炼与提高】

面积公式与体积公式，看起来平淡无奇。应用得当，却可以在很多问题的解答过程中起到意想不到的作用.

本题第2问的关键，是求出点 P 与平面 DEF 的距离. 应用体积公式，在没有作出这条垂线的情况下，就把距离算了出来.

当然，本题还有另外一种解法，就是先作出高线再计算. 详见下文：

2018年理科数学全国卷A

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2018年文数全国卷A题18

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