指数与对数客观题：3个比大小的选择题

指数与对数客观题：3个比大小的选择题

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-19 21:16 被阅读0次

2019年理数全国卷A题3

3.已知 $a=\log_20.2, \; b=2^{0.2}, \; c=0.2^{0.3}$ ，则

$A. a \lt b \lt c \qquad B. a \lt c \lt b$

$C. c \lt a \lt b \qquad D. b \lt c \lt a$

【解答】

$\log_2 0.2 \lt 0$

$2^{0.2} \gt 1$

$0 \lt 0.2^{0.3} \lt 1$

∴ $a \lt c \lt b$

结论：选项B正确。

2016年理数全国卷C题6

（6）已知 $a=2^{\frac{4}{3}},\;b=4^{\frac{2}{5}},\;c=25^{\frac{1}{3}}$ ，则

$(A)b \lt a \lt c \qquad (B)a \lt b \lt c$

$(C)b \lt c \lt a \qquad (D)c \lt a \lt b$

【解答】

$a=4^{\frac{2}{3}},\;b=4^{\frac{2}{5}},\;c=5^{\frac{2}{3}}$

$4^{\frac{2}{5}} \lt 4^{\frac{2}{3}} \lt 5^{\frac{2}{3}}$

∴ $b \lt a \lt c$

结论：选项A正确。

2013年理数全国卷B题8

（8）设 $a=\log_36,\; b=\log_510,\; c=\log_714$ ，则

$(A)c \gt b \gt a \qquad (B)b \gt c \gt a$

$(C)a \gt c \gt b \qquad (D)a \gt b \gt c$

【解答】

$a=\log_3(3\times2)=1+\log_3 2$ ,

$b=\log_5(5\times2)=1+\log_5 2$ ,

$c=\log_7(7\times2)=1+\log_7 2$

∵ $f(x)=\log_2 x$ 在 $(0,+\infty)$ 区间内单调递增，

∴ $0 \lt \log_2 3 \lt \log_2 5 \lt \log_2 7$ ,

$\dfrac{1}{\log_2 3} \gt \dfrac{1}{\log_2 5} \gt \dfrac{1}{\log_2 7}$

$\log_3 2 \gt \log_5 2 \gt \log_7 2$

∴ $a \gt b \gt c$ .

结论：选项D正确。

【提炼与提高】

这一组题目难度适中，可以用作高一年级的补充习题。

『指数函数 $f(x)=a^x$ 的性质』

若 $a \gt 1$ , 则指数函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增；

若 $0 \lt a \lt 1$ , 则指数函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递减；

$a^0=1;\;a^1=a;$

『对数函数 $f(x)=\log_a x$ 的性质』

若 $a \gt 1$ , 则指数函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增；

若 $0 \lt a \lt 1$ , 则指数函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递减；

$\log_a 1 =0;\; \log_a a=1;$

$\log_a(P \cdot Q)=\log_aP+\log_aQ$

『反比例函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 的性质』

在区间 $(-\infty,0)$ 上，单调递减；

在区间 $(0,+\infty)$ 上，单调递减；

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