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指数与对数客观题：3个比大小的选择题

指数与对数客观题：3个比大小的选择题

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-19 21:16 被阅读0次

2019年理数全国卷A题3

3.已知 a=\log_20.2, \; b=2^{0.2}, \; c=0.2^{0.3} ，则

A. a \lt b \lt c \qquad B. a \lt c \lt b

C. c \lt a \lt b \qquad D. b \lt c \lt a

【解答】

\log_2 0.2 \lt 0

2^{0.2} \gt 1

0 \lt 0.2^{0.3} \lt 1

∴ a \lt c \lt b

结论：选项B正确。

2016年理数全国卷C题6

（6）已知 a=2^{\frac{4}{3}},\;b=4^{\frac{2}{5}},\;c=25^{\frac{1}{3}} ，则

(A)b \lt a \lt c \qquad (B)a \lt b \lt c

(C)b \lt c \lt a \qquad (D)c \lt a \lt b

【解答】

a=4^{\frac{2}{3}},\;b=4^{\frac{2}{5}},\;c=5^{\frac{2}{3}}

4^{\frac{2}{5}} \lt 4^{\frac{2}{3}} \lt 5^{\frac{2}{3}}

∴ b \lt a \lt c

结论：选项A正确。

2013年理数全国卷B题8

（8）设 a=\log_36,\; b=\log_510,\; c=\log_714 ，则

(A)c \gt b \gt a \qquad (B)b \gt c \gt a

(C)a \gt c \gt b \qquad (D)a \gt b \gt c

【解答】

a=\log_3(3\times2)=1+\log_3 2,

b=\log_5(5\times2)=1+\log_5 2,

c=\log_7(7\times2)=1+\log_7 2

∵ f(x)=\log_2 x 在 (0,+\infty) 区间内单调递增，

∴ 0 \lt \log_2 3 \lt \log_2 5 \lt \log_2 7,

\dfrac{1}{\log_2 3} \gt \dfrac{1}{\log_2 5} \gt \dfrac{1}{\log_2 7}

\log_3 2 \gt \log_5 2 \gt \log_7 2

∴ a \gt b \gt c.

结论：选项D正确。

【提炼与提高】

这一组题目难度适中，可以用作高一年级的补充习题。

『指数函数 f(x)=a^x的性质』

若 a \gt 1, 则指数函数在 (-\infty,+\infty) 上单调递增；

若 0 \lt a \lt 1, 则指数函数在 (-\infty,+\infty) 上单调递减；

a^0=1;\;a^1=a;

『对数函数 f(x)=\log_a x 的性质』

若 a \gt 1, 则指数函数在 (-\infty,+\infty) 上单调递增；

若 0 \lt a \lt 1, 则指数函数在 (-\infty,+\infty) 上单调递减；

\log_a 1 =0;\; \log_a a=1;

\log_a(P \cdot Q)=\log_aP+\log_aQ

『反比例函数 f(x)=\dfrac{1}{x} 的性质』

在区间 (-\infty,0) 上，单调递减；

在区间 (0,+\infty) 上，单调递减；

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