三棱柱:2013年理数全国卷B题18(12分)
如图,直三棱柱 中, 分别是 的中点,
(I)证明∶//平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的正弦值.
2013年理数全国卷B【解答问题I】
连接 , 记 的交点为 .
连接 .
∵ 是直三棱柱,
∴ 是矩形,∴ 是 的中点;
∵ 是 中点, 是 中点,
∴ 是 的中位线,
∵ , 平面 ,
∴ //平面 . 证明完毕.
【解答问题Ⅱ:准备工作】
∵ 是直三棱柱 ,
,
∴ 是正方形, 是等腰直角三角形;
令 ,则
以点 为原点,并以 为 轴,建立坐标系. 则各点坐标如下:
【解答问题Ⅱ:算法一】
设平面 的法向量为 ,则
设平面 的法向量为 ,则
【解答问题Ⅱ:算法二】
平面 的法向量
平面 的法向量为
结论:求二面角 的正弦值等于 .
【提炼与提高】
本题第1问与文科卷相同,求解的关键是中位线定理.
本题第2问,用几何方法比较难搞;适合用向量方法解决。
很多学生在使用向量方法解答立体几何的过程中会遇到一个苦恼:很容易出现计算错误,在考试状态下要想自己查出这类错误是比较困难的. 笔者在此推荐一种新的算法:用向量的外积(又称叉乘)运算来求法向量。两种算法是等效的。在考试过程中,可以分别用两种方法计算,再比较计算结果.
一般来讲,比起单纯地检查计算过程,用一种不同的算法来进行验算,效率会更高.
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