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三棱柱:2013年理数全国卷B题18

三棱柱:2013年理数全国卷B题18

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-11-14 01:10 被阅读0次

    三棱柱:2013年理数全国卷B题18(12分)

    如图,直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中,D,E 分别是 AB,BB_1 的中点,AA_1=AC=CB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AB.

    (I)证明∶BC_1//平面 A_1CD;

    (Ⅱ)求二面角 D-A_1C-E 的正弦值.

    2013年理数全国卷B

    【解答问题I】

    连接 AC_1, 记 AC_1,A_1C 的交点为 Q.

    连接 DQ.

    ABC-A_1B_1C_1 是直三棱柱,

    A_1ACC_1 是矩形,∴ QA_1C,\,AC_1的中点;

    QAC_1 中点,DAB 中点,

    DQ\triangle ABC_1 的中位线,DQ // BC_1

    DQ // BC_1, DQ \subset 平面 A_1CD,

    BC_1//平面 A_1CD. 证明完毕.


    【解答问题Ⅱ:准备工作】

    ABC-A_1B_1C_1 是直三棱柱 ,

    AA_1=AC=CB= \dfrac {\sqrt{2}} {2}AB,

    A_1ACC_1 是正方形,\triangle ABC 是等腰直角三角形;

    BC=2,则 AB=2\sqrt{2}

    以点 C 为原点,并以 CA,CB,CC_1x,y,z 轴,建立坐标系. 则各点坐标如下:

    A(2,0,0),\;B(0,2,0),\;C(0,0,0),\;

    D(1,1,0)

    A_1(2,0,2),\;B_1(0,2,2),\;C_1(0,0,2),\;

    \overrightarrow{CA_1}=(2,0,2)

    \overrightarrow{CD}=(1,1,0)

    \overrightarrow{CE}=(0,2,1)


    【解答问题Ⅱ:算法一】

    设平面 CA_1D 的法向量为 \overrightarrow{m}=(m_x,m_y,m_z),则

    2m_x+2m_z=0

    m_x+m_y=0

    \overrightarrow{m} = (1,-1,-1)

    设平面 CA_1E 的法向量为 \overrightarrow{n}=(n_x,n_y,n_z),则

    2n_x+2n_z=0

    2n_y+n_z=0

    \overrightarrow{n} = (2,1,-2)

    \dfrac {\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}} { |\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \dfrac {1} {\sqrt{3}}

    \sin <\overrightarrow{m} , \overrightarrow{n}> = \dfrac {\sqrt{6}} {3}


    【解答问题Ⅱ:算法二】

    平面 CA_1D 的法向量 \overrightarrow{m}= \overrightarrow{CA_1} \times \overrightarrow{CD}=(-2,2,2)

    平面 CA_1E 的法向量为 \overrightarrow{n}=\overrightarrow{CA_1} \times \overrightarrow{CE}=(-4,-2,4)

    \dfrac {\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}} { |\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \dfrac {1} {\sqrt{3}}

    \sin <\overrightarrow{m} , \overrightarrow{n}> = \dfrac {\sqrt{6}} {3}

    结论:求二面角 D-A_1C-E 的正弦值等于 \dfrac { \sqrt{6} } {3}.


    【提炼与提高】

    本题第1问与文科卷相同,求解的关键是中位线定理.

    本题第2问,用几何方法比较难搞;适合用向量方法解决。

    很多学生在使用向量方法解答立体几何的过程中会遇到一个苦恼:很容易出现计算错误,在考试状态下要想自己查出这类错误是比较困难的. 笔者在此推荐一种新的算法:用向量的外积(又称叉乘)运算来求法向量。两种算法是等效的。在考试过程中,可以分别用两种方法计算,再比较计算结果.

    一般来讲,比起单纯地检查计算过程,用一种不同的算法来进行验算,效率会更高.


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