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折纸 二面角：2016年理数全国卷B题19

折纸 二面角：2016年理数全国卷B题19

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-11-15 09:10 被阅读0次

折纸 二面角：2016年理数全国卷B题19（12分）

如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5,AC =6，点 E,F 分别在 AD,CD 上，AE=CF= \dfrac {5}{4}，EF 交 BD于点 H. 将 \triangle DEF 沿 EF 折到 \triangle D'EF 的位置，OD'= \sqrt{10}.

（I）证明∶D'H \perp平面 ABCD;

（Ⅱ）求二面角 B-D'A-C的正弦值.

2016年理数全国卷B

【解答问题I】

∵ 菱形的对角线相互垂直平分，而在菱形 ABCD 中，AB=5,AC =6，

∴ OA=OC=3, OB=OD=4

又 ∵ AE=CF= \dfrac {5}{4},

∴ DE=DF= \dfrac {15} {4}, EF//AC, OH=1,HD=3

∴ \triangle DEF 是等腰三角形，HE=HF, DH \perp EF,

又∵ \triangle D'EF \cong \triangle DEF, ∴ D'H \perp EF.

∵ OD'= \sqrt{10},OH=1,HD=3

∴ |OD'|^2 = |OH|^2 + |HD|^2

∴ D'H \perp OH.

∵ D'H \perp OH, D'H \perp EF, EF\cap OH=H,

∴ D'H \perp平面 ABCD. 证明完毕.

【解答问题Ⅱ：建立坐标系】

以点 O 为原点建立直角坐标系，并以 OB,OC 为 x,y 轴，以 HD' 方向为 z 轴正方向；

相关各点坐标如下：

O(0,0,0),\;B(4,0,0),\;A(0,-3,0),

C(0,3,0),\;D'(-1,0,3),\;

\overrightarrow{AD'}=(-1,3,3)

\overrightarrow{AB}=(4,3,0)

\overrightarrow{AC}=(0,6,0)

【解答问题Ⅱ：算法一】

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD'}=(9,-12,15)

\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD'}=(18,0,6)

令 \overrightarrow{m}=(3,-4,5),\overrightarrow{n}=(3,0,1),

\dfrac { \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} } { |\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}| } = \dfrac {7} {5\sqrt{5}}

∴ 二面角 B-D'A-C的正弦值 = \dfrac {2} {25} \sqrt{95}

【解答问题Ⅱ：算法二】

令 \overrightarrow{m} 为平面 AD'B 的法向量，则

4m_x+3m_y=0

-m_x+3m_y+3m_z=0

∴ \overrightarrow{m}=(-3,4,-5)

令 \overrightarrow{n} 为平面 AD'C 的法向量，则

6n_y=0

-n_x+3n_y+3n_z=0

∴ \overrightarrow{n}=(3,0,-1)

\dfrac { \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} } { |\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}| } = \dfrac {-7} {5\sqrt{5}}

∴ 二面角 B-D'A-C的正弦值 = \dfrac {2} {25} \sqrt{95}

【提炼与提高】

本题第1问，由线线垂直推出线面垂直。在推导过程中用到了菱形的性质和勾股定理的逆定理。

本题第2问，适合用向量方法解决。我们用外积法和内积法分别计算，相互校验，避免失误。

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