同济高等数学第七版1.10习题精讲（续）

同济高等数学第七版1.10习题精讲（续）

作者: 解冒号 | 来源:发表于2019-10-15 22:43 被阅读0次

4、证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程 $a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}=0$ 至少有一实根，其中系数均为常数， $n\in N$

证明：设函数 $f(x)=a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}$ 则它为连续函数，当 $|x|$ 充分大时，可以得出 $f(x)$ 大小和第一项有关。当 $x$ 为正数， $f(X)$ 也为正，否则为负，所以满足零点定理。问题得证。

5、若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b(n\geq3)$ ，则在 $(x_1,x_n)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$

证明：闭区间上连续函数必有最大值 $M$ 和最小值 $m$ ，将各点的函数值加在一起会大于 $nm$ ，小于 $nM$ 。所以

$m\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\leq M$ ，根据介值定理，令 $f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$

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