哥德尔不完备性定理

一直以来，无数的哲学家、数学家、科学家、逻辑学家都在追求得到一个绝对正确的真理。

因为无论什么科学体系，亦或者是哲学和数学，其出发点都建立在一些不证自明的公理上，然后靠演绎去推导。

比如欧式几何的五条公理之一：过相异两点，能作且只能作一直线。

但是人们逐渐发现，靠直观的公理还是可能会错。比如，集合论公理也会自相矛盾，最著名的就是罗素悖论。后来又出现了一位大数学家希尔伯特，他向全世界的数学家抛出一个宏伟的计划，希望建立一套公理体系，使一切数学命题都可以经此判定真伪。这叫做“公理体系的完备性”。

然而，正当这个宏伟的计划在有序推进，几乎全世界的数学家都期待着数学大厦即将竣工的时候。

一道晴天霹雳打在了希尔伯特等数学家的头上，哥德尔带着他的不完备性定理出现了。

1931年哥德尔提出了不完备性定理，那年他年仅25岁。这一理论对数学产生了划时代的影响，也成为逻辑学的丰碑。代表着西方最顶级的理性思潮，是西方自古以来理性思维的高峰。

以往大多数数学家都认为，如果某个命题是正确的，就一定可以用数学演绎的方法证明其为真；如果某个命题是错误的，也一定可以用数学演绎的方法证明其为假。

典型的代表就是庞加莱，他认为只要我们拟定了定义和公理之后，一个定理就只能为真或为假。

然而哥德尔不完备性定理却发现，在任何一个包含皮亚诺算术的形式系统中，必定包含一些命题，既不能用系统中的公理和推理规则证明其为真，也不能用系统中的公理和推理规则证明其为假。

翻译一下就是：在任何一个表达力足够、推理能力足够的形式系统中，必定包含一些命题，既不能被证明为真，也不能被证明为假。

即，命题自身无法在此公理体系内被证明。我们根本无法确定真理的存在。

当然，这句话也是有适用边界的。它仅仅是针对数学领域而言，而且是针对表达力足够、推理能力足够的形式系统。

哥德尔不完备定理不仅直接对逻辑学和数学产生了空前的影响，而且还延伸到其余的领域，比如计算机、哲学、心脑科学、认知科学等领域，都产生了非常大的影响。——罗西. 哥德尔定理及其方法论意义[D].浙江大学,2015.

后来塔尔斯基（哲学家、逻辑学家、语言学家），用形式语言去证明哲学领域的真理，最后也得出类似的结论，即一个给定语言的句子的真理概念不能在这个语言内被一致性的定义出来。

这就是著名的塔尔斯基不可定义性定理。

对于物理学领域，著名的宇宙学家霍金在国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的，这一推测也是基于哥德尔不完全性定理。