UX009

在上一次UX008中我们谈到，人们在解三次方程的时候，与复数打了一个遭遇战。

不过，这个奇怪的幽灵总是若隐若现，除非迫不得已，没有人想使用这种东西。

为什么复数这么不受人们的待见呢？

它的秘密又是怎么被揭开的呢？

笛卡尔的努力

笛卡尔是解析几何的创始人之一，我们最常用的垂直坐标系就是他发明的。

找到复数几何意义非常有必要

复数之所以那么虚无缥缈，有一个很大的原因就是，从来没有人能够做出一个长度的线段。

反之，无理数所以很容易接受，就是因为它非常容易作图，边长为的正方形，对角线的长度就是。

如果从几何的角度寻找到了 ，会是很大的进步。

笛卡尔具体的探索过程在这里就不列出来了，总之，他的思路就是把二次函数的根表示在某个几何图形上，然后看一下，当根出现 形式时，从几何角度是否能观察到。

笛卡尔的努力失败了，并且他认为是没有对应几何意义的，是纯粹虚无的。

笛卡尔的贡献

笛卡尔的尝试主要有两点贡献：

1.在书中笛卡尔命名为 nombre imaginaire（虚构的数），成为了“虚数”（imaginary number）一词的由来。“虚数”这种说法到今天还在使用。[1]

2.笛卡尔坐标系后来成为了研究复数的有力武器。

几何意义的再度探索

那么能不能从“引入负数”的历史中重新挖掘点什么呢?

负数的几何意义

没有负数之前，数轴是只有一个方向的，正数是一条单向的射线。我们设这时候的角度为。

只有正数的数轴

负数的出现，从数轴上来看，就相当于转180°。那么这时候的角度就是，。

从此，数轴是双向的了。

负数出现之后的双向数轴

负数乘法

这个掉头的过程是如何完成的?

从乘法上来看，也就是 ，可见，从方向上来看的作用就是转。

负数乘法

那么，由于 ，所以 在方向上的作用就是转。

复数的乘法

这么一推理，在几何这个意义就是旋转。

所以， 果然不位于数轴之上，而是垂直于我们的数轴。

豁然开朗

如果把轴画出来，那么正好构成了笛卡尔坐标系。

X轴是原来的实数轴，Y轴则是刚刚发现的轴。

➣为什么这一点很难被发现?

因为，负数和正数之间的运算，从数值上来说是非常简单的。

负数和正数，可以看作两个向量。

当向量方向相同或相反的时候，数值的计算最简单，非常符合直觉。

简单的向量加法

但是，如果并非这样，那么计算的时候，就需要用到向量的“平行四边形”计算方法，会涉及到的到角度。

非特殊值的向量加法 向量的"平行四边形"计算方法

从加减来看虚数的几何意义，是相当困难的。

因为无论是从数值上来看，还是从角度上来看，最终的结果都不是显而易见的。

好在，向量的乘法正好是“模相乘”而“角度相加”，反而比加减法更容易理解。

对于虚数的理解自然也就从“乘法”突破进去了。

新的单位

正数的单位是“1”，负数的单位是“-”，虚数的单位则是“”，或者用符号。

之前在作图的时候，我们只是让直线可以向两端延长，这就相当于只是提供了一个“实数轴”。

所以在这种观念下，从几何上是不可能做出“虚数”的效果的。

因为“虚数”的单位和“实数”是完全不同，移动方向也完全不同。

丹麦的业余数学家

最先发现这个解释并写成论文是丹麦的韦塞尔。

他并非职业的数学家，只是一个工程师，而且论文是用丹麦语写的，并没有造成广泛的影响。

他的成就是后来被追认的。

同一时期，关于复数几何意义的探索，最有建树的应该就是高斯了。

高斯平面

老狐狸高斯

终其一生，高斯总是静静将答案写下，不留一点计算痕迹，而且对答案有绝对的把握，就像雪地中狐狸总是用尾巴扫拭足迹一般。

如果排出史上最牛的数学家，那么前十里面一定有高斯的位置。

高斯非常高产，涉及数学领域非常广。

这么厉害的人却有一个老狐狸的名声，他对于任何不确定的东西都不会提前发表，复数也是这般。

从日记和手稿上来看，在韦塞尔发表文章的四年之前就已经有了“复数几何意义”的看法。他在1797年就已经完全掌握了几何意义的解释，但是很久之后才发表。

从费马定理到复数

高斯当时正在出版《算数研究》这本书，其中涉及到了费马提出的“费马平方和定理”[2]：形如4n + 1的质数能够唯一地表示为两个平方数之和。

在研究中，一般用p代表“4n+1”，。

高斯敏锐的发现，公式可以改写成这样：。

这种数字，高斯叫他们为“复数”。

那么在引入的情况下，现有数系中的“质数”就有问题。

必定是脱离于目前数系的新东西，所以也不能在数轴上表示出来。

开始的时候，高斯在数轴上画圈和点来标记“复数”这种写法。

比如， 他会这样表示：

1+3i

用了一段时间之后，发现太麻烦了。高斯又想到可以把新的数轴给竖起来，这样的话就写成了一个笛卡尔坐标系。

从坐标系的角度来看 这种形式可以看成，平面上的两个点，。

高斯平面

形成的平面就被叫做“高斯平面”或者是“复平面”。

数系的再次扩张

自此之后，数学家们就慢慢的接受了复数的概念。

复数是一种“二元数”，之前旧的数系明显是它的真子集。

比如，实数又可以表示为复数。

所以，因为之前竖着的数轴被称为“虚数”，那么之前的横着的数轴就被称为“实数”。

他们共同组成“复数”，“复平面”。

复数集合一般用来表示，因为的意思是“复合”。

总结

1. 复数的几何意义是旋转90°。
2. 复数是一种二元数，可以用“复平面”来表示。
3. 复数的出现，代表着数系的再次扩张。复数集合习惯上用来表示。

注释

[1] 瑞士数学家欧拉于 1777 年引进符号 ，之所以是这个字母，自然是取了虚数（imaginary number）的首字母。另外，自然常数的符号，也是欧拉引入的。

[2] 这个定理并不是高斯证明的，几十年前就已经被瑞士数学家欧拉所证明。

参考资料

1. 《数学史》
2. 《虚数的故事》
3. 《图解数学学习》
4. 《漫画虚数》
5. 《高观点下的初等数学》

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我是心如止水，欢迎你和我换个姿势学数学。

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