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听故事学算法 - 和李逍遥一起学「普里姆Prim」算法

听故事学算法 - 和李逍遥一起学「普里姆Prim」算法

作者: Azen | 来源:发表于2017-02-16 17:27 被阅读298次

    数据结构和算法中,求图的最小生成树的普里姆算法,对萌新来说还是有一定压力的。希望这个小故事,能让大家更轻松地把握普里姆算法的思路,为正式学习打好基础。呐,开始咯~

    李大娘生病了

    李大娘在余杭镇盛渔村经营客栈,与侄子李逍遥相依为命,虽然有时言语比较苛刻,但待之如亲子。
    一日,客栈来了一群苗人,李大娘病倒,李逍遥拿着黑苗人头目给他的破天锤,踏上了去仙灵岛的求药之旅。

    仙灵岛有妖怪

    想要进入仙灵岛偷看到灵儿妹妹洗澡给婶婶求药,需要用破天锤打碎岛上的六个雕像。怎奈每条路上都妖怪众多,该怎么办呢?

    仙灵岛地图.png

    李逍遥行动了

    伫立桥头,逍遥望见有三条并不平坦的路,分别通往B、D、G三尊雕像,路上的小怪物分别有5个、11个、3个。逍遥略一思忖,我现在只会气疗术和半吊子的御剑术,英雄不吃眼前亏,姑且忍得一口气,打3个小怪,去砸G雕像吧!
    逍遥抡圆了胳膊砸碎G雕像,看到眼前又出现两条路,通往E的路上,有13个妖怪,通往F的路上,有6个妖怪。逍遥凝神细思,喃喃自语道:「从A到B那条路好像只有5个妖怪,不如走那条道吧」。于是逍遥荡起蒲团,从G返回了A,一路杀向了B。
    靠着同样的逻辑和惊人的记忆力,逍遥在杀死妖怪数最少的情况下,成功打碎了六个雕像。他走过的路分别是:

    • A->G
    • A->B
    • B->D
    • B->C
    • C->E
    • G->F
    李逍遥路线图.png

    他把砸雕塑的故事写成了一封信,附上了自己的路线图,寄给了远房亲戚普里姆大叔,好多年以后,算法和数据结构的试卷上,便多了一道叫做「普里姆算法」的考题。每当看到这道考题,耳边依稀回响起灵儿的低声吟唱:

    既不回头,何必不忘;
    既然无奈,何须誓言。
    今日种种,似水无痕;
    明夕何夕,君已陌路。

    逍遥风采依旧

    好了,普里姆算法的思路,已经在上面这个故事里了。我们来追寻着逍遥的英姿,一起来通过代码,学习下普里姆算法吧~(PS.以下内容引自大话数据结构

    目标:求出下面这个图的最小生成树

    PS.大家可以任选一个点为起点,用逍遥的思路,尝试着以最小成本连通这9个点,然后跑一下代码,看看结果和自己思考的一不一样

    普里姆算法实例.png

    实现代码 - C语言

    #include "stdio.h"    
    #include "stdlib.h"   
    
    #include "math.h"  
    #include "time.h"
    
    #define OK 1
    #define ERROR 0
    #define TRUE 1
    #define FALSE 0
    
    #define MAXEDGE 20
    #define MAXVEX 20
    #define INFINITY 65535
    
    typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */
    
    typedef struct
    {
        int arc[MAXVEX][MAXVEX];
        int numVertexes, numEdges;
    }MGraph;
    
    void CreateMGraph(MGraph *G)/* 构件图 */
    {
        int i, j;
    
        /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
        G->numEdges=15;
        G->numVertexes=9;
    
        for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
        {
            for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
            {
                if (i==j)
                    G->arc[i][j]=0;
                else
                    G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
            }
        }
    
        G->arc[0][1]=10;
        G->arc[0][5]=11; 
        G->arc[1][2]=18; 
        G->arc[1][8]=12; 
        G->arc[1][6]=16; 
        G->arc[2][8]=8; 
        G->arc[2][3]=22; 
        G->arc[3][8]=21; 
        G->arc[3][6]=24; 
        G->arc[3][7]=16;
        G->arc[3][4]=20;
        G->arc[4][7]=7; 
        G->arc[4][5]=26; 
        G->arc[5][6]=17; 
        G->arc[6][7]=19; 
    
        for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
        {
            for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
            {
                G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
            }
        }
    
    }
    
    /* Prim算法生成最小生成树  */
    void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
    {
        int min, i, j, k;
        int adjvex[MAXVEX];     /* 保存相关顶点下标 */
        int lowcost[MAXVEX];    /* 保存相关顶点间边的权值 */
        lowcost[0] = 0;/* 初始化第一个权值为0,即v0加入生成树 */
                /* lowcost的值为0,在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
        adjvex[0] = 0;          /* 初始化第一个顶点下标为0 */
        for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)  /* 循环除下标为0外的全部顶点 */
        {
            lowcost[i] = G.arc[0][i];   /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
            adjvex[i] = 0;                  /* 初始化都为v0的下标 */
        }
        for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
        {
            min = INFINITY; /* 初始化最小权值为∞, */
                            /* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
            j = 1;k = 0;
            while(j < G.numVertexes)    /* 循环全部顶点 */
            {
                if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)/* 如果权值不为0且权值小于min */
                {   
                    min = lowcost[j];   /* 则让当前权值成为最小值 */
                    k = j;          /* 将当前最小值的下标存入k */
                }
                j++;
            }
            printf("(%d, %d)\n", adjvex[k], k);/* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
            lowcost[k] = 0;/* 将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
            for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)  /* 循环所有顶点 */
            {
                if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]) 
                {/* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
                    lowcost[j] = G.arc[k][j];/* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
                    adjvex[j] = k;              /* 将下标为k的顶点存入adjvex */
                }
            }
        }
    }
    
    int main(void)
    {
        MGraph G;
        CreateMGraph(&G);
        MiniSpanTree_Prim(G);
      
        return 0;
     
    }
    

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