立体几何复盘：如何证明面面垂直？

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-03 21:24 被阅读0次

立体几何复盘：如何证明面面垂直？

空间的垂直关系有以下三种：

线线垂直：包括共面垂直和异面垂直两类情况。

线面垂直

面面垂直

这三种垂直关系，可以相互转化。

（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。

（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。

（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。

（4）由面面垂直可以推出线面垂直。

（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。

真题实例

2015年文数全国卷A题18

如图，四边形 $ABCD$ 为菱形， $G$ 为 $AC$ 与 $BD$ 的交点， $BE \perp$ 平面 $ABCD$ .
（Ⅰ）证明∶平面 $AEC \perp$ 平面 $BED$ ;

2015年文数全国卷A题18

【破解要点】

由线面垂直推出面面垂直，是证明面面垂直的常用方法。本题就是典型实例。

由菱形的对角线性质可以推出一对线线垂直： $AC \perp BC$ ;

再由三线合一推出另外一对线线垂直： $AC \perp EG$ ;

二者结合推出： $AC \perp$ 平面 $BED$ .

据此得出结论：平面 $AEC \perp$ 平面 $BED$ ;

2017年文数全国卷A题18

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $AB//CD$ ，且 $\angle BAP= \angle CDP=90°.$
（1）证明∶平面 $PAB \perp$ 平面 $PAD$ ;

2017年文科卷A和理科卷A使用同一个模型

【破解要点】

为证面面垂直，先证线面垂直.

由题设条件可得： $AB \perp PA$

再由平行线的传递性可推出： $AB \perp PD$

于是推出线面垂直：先证明 $PD \perp$ 平面 $PAB$

根据这一对线面垂直关系，即可推出：平面 $PAB \perp$ 平面 $PAD$ ;

2012年文数全国卷题19

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧棱垂直底面， $\angle ACB=90°, AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D$ 是棱 $AA_1$ 的中点.
（I）证明∶平面 $BDC_1 \perp$ 平面 $BDC$ ;

2012年文数全国卷

【破解要点】

在本题解答过程中起关键作用的是这一对线面垂直关系：

$DC_1 \perp$ 平面 $BDC$ ;

2019年理数全国卷C题19

图1是由矩形 $ADEB，Rt \triangle ABC$ 和菱形 $BFGC$ 组成的一个平面图形，其中 $AB=1，BE=BF=2，\angle FBC=60°.$ 将其沿 $AB，BC$ 折起使得 $BE$ 与 $BF$ 重合，连接 $DG$ ，如图2.
（1）证明∶图2中的 $A，C，G，D$ 四点共面，且平面 $ABC \perp$ 平面 $BCGE$ ;

说明：文数与理数的第1问相同

2019年理科数学全国卷C

【破解要点】

$AB \perp$ 平面 $BCGE$ .

2018年理数全国卷A题18

如图，四边形 $ABCD$ 为正方形， $E，F$ 分别为 $AD，BC$ 的中点，以 $DF$ 为折痕把 $\triangle DFC$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $PF \perp BF$ .
（1）证明∶平面 $PEF \perp$ 平面 $ABFD$ ;

2018年理科数学全国卷A

【破解要点】

解答此题的基本思路仍是：由线面垂直推出面面垂直；

关键在于： $ABFE$ 是矩形 $\Rightarrow FE \perp BF$ ;

$PF \perp BF, FE \perp BF, PE \cap BF$

$\Rightarrow BF \perp$ 平面 $PEF$ .

2016年理数全国卷A题18

如图，在以 $A,B,C,D,E,F$ 为顶点的五面体中，面 $ABEF$ 为正方形， $AF =2FD$ ， $\angle AFD= 90°$ ，且二面角 $D-AF-E$ 与二面角 $C-BE-F$ 都是 $60°.$
（I）证明∶平面 $ABEF \perp$ 平面 $EFDC$ ;

2016年理数全国卷A

【破解要点】

破解要点： $AF \perp$ 平面 $EFDC$ .

2018年文数全国卷C题19

如图，矩形 $ABCD$ 所在平面与半圆弧 $CD$ 所在平面垂直， $M$ 是 $CD$ 上异于 $C,D$ 的点.
（1）证明∶平面 $AMD \perp$ 平面 $BMC$ ;

说明：文数与理数的第1问相同

2018年文数全国卷C

【破解要点】

本题的关键有两点：

（一）直径所对的圆周角是直角. 这是平面几何中的一个常用定理.

根据该定理可以推出： $CM \perp MD$ .

（二）矩形 $ABCD$ 所在平面与半圆弧 $CD$ 所在平面垂直，所以 $AD \perp$ 平面 $DMC$ , $AD \perp CM$ .

这是由面面垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直.

2010年文数全国卷题18

如图，已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为等腰梯形， $AB//CD，AC \perp BD$ ，垂足为 $H$ ， $PH$ 是四棱锥的高.
（1）证明∶平面 $PAC \perp$ 平面 $PBD$ ;

2010年文数全国卷

【破解要点】

由线面垂直推出面面垂直，是证明面面垂直的最常用路径. 就本题而言，自然想到：

$AC \perp$ 平面 $PDB$ ？

为了证明这一线面垂直关系，需要两对线线垂直，其中之一是现成的： $AC \perp BD$ ;

另外一对则由线面垂直推出：

$PH$ 是四棱锥的高.

$\Rightarrow PH \perp$ 平面 $ABCD$

$\Rightarrow PH \perp AC$ .

2015年理数全国卷A题18

如图，四边形 $ABCD$ 为菱形， $\angle ABC=120°$ ， $E，F$ 是平面 $ABCD$ 同一侧的两点， $BE \perp$ 平面 $ABCD$ ， $DF \perp$ 平面 $ABCD$ , $BE=2DF, \; AE \perp EC.$
（Ⅰ）证明∶平面 $AEC \perp$ 平面 $AFC$ ;