《用数学的语言看世界》读书笔记

作者: 沈阳老孟 | 来源:发表于2020-03-29 13:48 被阅读0次

《用数学的语言看世界》

书评

这本书是作者博客整理的，内容还是不错的，就是难度有些跳跃，简单的特别简单，复杂的数论和群论部分还是很复杂的。其中复数那一章讲的还是比较透彻的，至少比高中课本好多了。

本书很多补充内容需要在作者关于这本书的网站上找，而且都是日文的，好在数学公式较多还有翻译软件可以帮些忙，勉强应付。

其实我看这本书的目的一是为了孩子找本数学课外书，二是为了测试 XMind 2020 的 LaTeX 支持，目前看来做的还是非常不错的，特别是 Xmind 公式支持的帮助文档非常简单明了，以后思维导图里面可以轻松输入公式了。

导图

摘抄

第1章从不确定的信息中作出判断

假设刚开始时手上有 m 元，每次的赌注为 1 日元。赌博最重要的是把握脱身的好时机，贏的钱增多到 N 元时果断收手。要么开始赢钱时不要收手，直到赢得目标 N 元；要么就一直继续，直到输光。
将贏钱的概率记作 P(m, N)。P 是英语概率“Probability” 的首字母，常用作表示概率。为了表示 m 元变成 N 元的概率, 再在 P 补充写上 (m, N)。这个概率大于 1/2 的话就有赢钱的希望，反之小于 1/2 的话最好还是尽早收手为好。概率的计算公式如下：
$P(m,N)=\frac{1-(\frac{q}{p})^m}{1-(\frac{q}{p})^N}$

公式 P(数学) P(数学 → 理科) = P(理科) P(理科 → 数学) 是数学界著名的“贝叶斯定理”。

第2章回归基本原理

8世纪初期，伊斯兰势力穿过直布罗陀海峡，占领了欧洲西部的伊比利亚半岛。后倭马亚王朝的首都科尔多瓦极尽繁华，甚至媲美巴格达还建造了当时世界上最大的图书馆。之后，基督教国家为了夺回伊比利亚半岛，发起了复地运动。科尔多瓦积累的伊斯兰知识也随之传入了中世纪的欧洲。阿拉伯的数学书籍被译成了拉丁语，花拉子米解说印度十进制计数法的图书以《阿尔戈利兹姆算术》为题在欧洲出版。“阿尔戈利兹姆”是花拉子米拉丁语的读法。因此，使用印度计数法的人被叫作“阿尔戈利斯特”（algorithm），这个词也是“算法”的词源，表示计算的顺序。

“连分数”是使用单位分数来表示分数的另一种方法。例如，27/7 的分子比较大，还可以表示为：
$\cfrac{27}{7}=3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6}}$

第3章大数字并不恐怖

$1.13^{50}\approx(10^{0.053})^{50} = 10^{0.053\times50}\approx10^{2.7}\approx5.0\times10^2$
……
由此可见，很多数用 10 的乘方表示后，计算就变得非常方便。进行乘法运算时，先将数字用 10 的乘方表示，那么乘法就转化为加法，除法则转化为减法，计算就变得相当简单了。为此人们发明了对数。

欧拉使用记号“e”来表示这个数。使用无限循环的记号 lim，记作:
$e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
奈皮尔常数出现在数学的各个方面。

在科学领域中之所以经常使用自然对数，是因为对于非常小的数值 $\epsilon$ 来说，以下公式:
$\ln(1+\epsilon)\approx\epsilon$
近似成立。这个公式帮我们简化了许多计算。

第4章不可思议的素数

分解质因数只存在唯一一种分解方法，这被称作“算术基本定理”。
……
把 1 排除在素数以外的根本原因在于为了尽可能简洁明了地表达这个重要的定理。

高斯的猜想和我们观察结果“ $N$ 位数的话，差不多 $\ln10^N$ 中就有一个数是素数”具有相同的意义。随着位数的增加，高斯的预测也越准确。1896 年，普森和雅克・阿达马分别证明了高斯的预测，这也是广为人知的“素数定理”。虽然欧几里得证明了素数有无穷个，但是素数定理更加精确地表示了素数增加的速度。

也就是说， $(x+1)^n$ 展开成 $x$ 的乘方时，除首末两项以外的系数如果能被 n 整除的话，n 是素数，否则 n 就是合数。

费马小定理的内容是“假如 p 是素数，对任意自然数 n, p 都能被 $(n^p-n)$ 整除”。为了区分“费马大定理”，这条定理被称作“费马小定理”。

从“n 成立的话” $\Rightarrow$ “(n+1) 同样也成立”证明有关自然数的定理。这种类似多米诺骨牌的证明方法叫作“数学归纳法”。

费马检测并不完美。因为不能通过费马素性检验的是合数，但是通过检验的也不一定是素数。

第5章无限世界与不完备性定理

P106

但是，到了 19 世纪，出现了一种为了数学本身而研究数学的想法。只要理论上符合逻辑，任何方面都可以作为研究对象。于是数学脱离了外部世界，成为一个独立的个体，进而发展成一门凭借学者思想的翅膀自由飞翔的“自由”学科。在现在的纯粹数学中，康托尔的想法再正常不过了，然而在 19 世纪却被视为异端。
德国哥廷根大学的教授戴维・希尔伯特高度赞扬了康特尔的功绩并宣称：“康托尔创建的数学天堂，不会驱逐我们任何一个人。”

P113

在当时，对于数学世界，数学家们尝试建立以公理为基础的数学系统。例如意大利的数学家皮亚诺为了给定义自然数，提出了 5 条公理。自然数从 1 开始，可以确定后一个数是 2, 再后一个数是 3, 依次类推。系统地定义了自然数的公式被称作“皮亚诺公理”。
皮亚诺公理的第 1 条到第 4 条决定了从 1 开始按顺序找出自然数的方法。可以说皮亚诺公理定义了自然数集合。第 5 条公理证明了“数学归纳法”可以用于自然数集合中。

P113

希尔伯特原来一直认为数学是为了创造探索自然的工具。然而，他又提出了一个有关数学研究的新方向，即将数学的公理系统本身作为数学的研究对象，并称之为“元数学”。

P116

第一不完备性定理：任意一个包含自然数及其算术运算在内的公理中，当这个公理无矛盾时，对于自然数都存在一个命题，它在这个公理中既不能被证明也不能被否定。

P118

第二不完备性定理：任意一个包含自然数及其算术运算在内的公理中，当这个公理无矛盾时，它的无矛盾性不可能在这个公理系统内得到证明。

P119

第一不完备性定理并不是主张无法证明自然数的定理，它只不过强调无法证明所有定理。实际上，许多对于自然数重要的定理都得到了证明。

P119

第二不完备性定理并不是主张数学系统存在矛盾，它只不过强调在有限的步骤中仅仅使用该公理无法证明公理的相容性。实际上，我认为真在担心自然数公理中存在矛盾的数学家少之又少。

第6章测量宇宙的形状

P148

平坦空间：欧几里得几何学成立的平面的三维版本。因此，三角形内角和总是等于 180°。

正曲率空间：球面的三维版本。因此，三角形内角和为
$内角和=180+720\times\frac{(三角形面积)}{4\pi r^2}$
r 的值越小，曲率就越大。

负曲率空间：双曲面的三维版本。因此，三角形内角和为
$内角和=180-720\times\frac{(三角形面积)}{4\pi r^2}$
r 的值越小，曲率就越大。

第7章微分源于积分

P166

$\int_0^a x^k\,dx=\frac{a^{k+1}}{k+1}$

P172

$\frac{d\,e^x}{dx}=e^x$

P172

$\int_a^b e^x\,dx=e^b-e^a$

第8章真实存在的“假想数字”

P187

所以，复数乘以虚数单位 i 后，复数旋转 90°。如果连续相乘两次，那么就旋转 180°，与乘以 -1 后的结果相一致。这同时也证明了 $i×i=-1$ 。

P189

复数的乘法运算就是在高斯平面内的位置以原点为中心先旋转再伸长。

P189

首先我们来复习一下三角函数。三角函数表示为 $\sin\theta$ 或 $\cos\theta$ 时， $\theta$ 是指用“弧度”单位测量的角度。此时，圆周的角度不是 360°，而是以 $2\pi$ 为单位。

P191

$(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\times (\cos\theta_2+i\sin\theta_2)= \cos(\theta_1+\theta_2) + i \sin(\theta_1+\theta_2)$
展开上述等式的左边部分，分别用等号连接两边的实数部分和虚数部分，那么
$\begin{align} \cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2 = \cos(\theta_1+\theta_1) \\ \sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2=\sin(\theta_1+\theta_2) \end{align}$
这就是三角函数的加法定理。

P191

指数函数的性质即“乘法运算等于指数的加法运算”
……
三角函数的加法定理与上述性质相似。两者都是等式左边是乘法运算，等式右边的变量却变成了加法运算。

P192

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$
这也是著名的“棣莫弗定理”。

P194

正 n 边形的顶点为
$Z_k=\cos(\frac{2\pi{k}}{n})+i\sin(\frac{2\pi{k}}{n})\;\;\;(k=0,1,2\cdots{n-1})$
这也是 $z^n=1$ 的根。

P197

$\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$
这就是“欧拉公式”。

P197

使用复数，三角函数的加法定理可以简洁明了地表示为 $e^{i\theta_1}\times e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ ，因此有关三角函数的计算也同样变得简单方便。三角函数的加法定理广泛运用于科学和工学的各个领域中。

P198

在欧拉公式 $\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$ 中，假设 $\theta=\pi$ ，那么 $\cos\pi=-1$ 、 $\sin\pi=0$ , 因此
$-1=e^{\pi i}$
……
$\ln(-1)=\pi i$

第9章测量“难”与“美”

P212

综上所述，能够进行乘法运算和除法运算、同时存在单位元以及乘法运算中结合律能够成立的“集合”叫作“群”。前面也已经提到过，群是由伽罗瓦命名的。

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