终于低头的费马大定理——《数学是什么》读书笔记（5）

乐乐老师/文

上个世纪八十年代，邓总工清醒地认识到科技的力量，提出“科学技术是第一生产力”的口号，让科学研究一度成为当时的热门话题，也催生了很多科技明星，陈景润就是其中的一位。

当时我还小，听父辈们说，当时陈景润炙手可热，魅力十足，大家对他的喜欢不亚于现在的胡歌和霍建华。虽然不懂这位当红小生具体在搞些什么，但是大家喜欢说，“他研究的哥德巴赫猜想其实就是1+1=2，你可以不要小看了这个1+1=2，看似简单，其实很难。”有的人还会神秘地补充上一句，“其实这是个哲学问题。”

这当然不是一个哲学问题，而是一个彻头彻尾的数学问题。哥德巴赫猜想内容为：任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和，可以最简单地表示成“1+1”（没有等于2），陈景润证明了“1+2”，即"任一充分大的偶数都可以表示成两个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"，向证明“1+1”迈出了一大步。

陈景润

陈景润所研究的哥德巴赫猜想，属于数学的一个古老分支，名曰“数论”，即“研究整数性质的理论”。

早在公元前6~5世纪，毕达哥拉斯学派就认为“万物皆数”，这里的数说的就是整数。公元前300年，欧几里得证明了素数的个数有无穷多个。这几百年成为数论发展的第一个黄金时期，但是之后一千多年的时间，数论都被打入冷宫，几乎停滞不前。

当时间的车轮进入17世纪，随着近代数学的兴起，包括费马、欧拉、高斯在内的一大批研究微积分的数学家同时也在关注某些整数的性质。1801年，高斯整理前人的成果，发表了集大成的一本论著——《算术研究》（以前数论被称为“算术”），在这本书中提出了“同余理论”，开启了现代数论的新纪元。

古典数论和这一时期所研究的数论通常被称为“初等数论”。除了初等数论之外，还有解析数论和代数数论。

黎曼首先发现了复变函数和素数分布之间的深刻联系，将数论引入了分析的领域，开创了解析数论。我国老一辈数学家华罗庚、陈景润和王元等在这一方向取得了巨大的成就。由于人们关注费马大定理，又发展出了代数数论的方向。

费 马

费马是一个让很多数学家汗颜的人，因为他只是一个业余数学家，他的全职工作是律师，也就是我们现在所说的文科生。这位“不务正业”的律师在数学这一业余研究方面非常高产，所以被人称为“业余数学家之王”。他从来没有受过数学教育，但却是解析几何的发明者之一，对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿和莱布尼茨，他还是概率论的主要创始人，以及独撑17世纪数论天地的人。他发现了很多优美的定理，所以你千万不要笼统地谈论“费马定理”，而要说清楚是哪个“费马定理”。在数论方面就有两个重要的费马定理：费马小定理和费马大定理。

费马小定理是数论中一个非常重要的定理，它的证明优美而简洁。但是费马大定理一经问世，便成为千古疑案。到19世纪初，费马提出的几乎所有定理都得到解决，唯独剩下了这个费马大定理，所以它又被称为“费马最后定理”（Feimat's Last Theorem），简称FLT。

1637年，费马在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》一书时，看到有关勾股定理的叙述：“把一个平方数写成两个平方数之和”，于是在书的空白处写到：“相反，不能把一个立方数写成两个立方数之和，也不能把一个四次方数写成两个四次方数之和，一般地，每个幂次大于2的方幂数均不能表成两个同样方幂数之和，我对此已经找到了一个真正奇妙的证明，但空白的地方太小写不下。”我们还可以用现代术语这样表述：

对每个正整数n>=3，方程x^n+yn=z^n均没有整数解（x,y,z）使得xyz不等于零。

虽然在费马与朋友的通信中存在n=3时的证明，大家也找到了他证明出n=4时成立的蛛丝马迹，但是仍有很多数学家都对费马得到了“奇妙证明”表示怀疑。大家猜测，费马只证明了n等于3和4两种情况下猜想正确，并认为可以推广到4以上的整数的情况，但是事实远远没有那么简单！

后来人们发现，只要能证明对所有素数n成立，则对所有的整数n就一定成立，大幕就这样拉开了。

• 1825年和1839年，法国数学家勒让德和拉梅证明了n=5和n=7时猜想成立；

• 1847~1857年，法国数学家库默尔证明了对小于100的奇素数猜想成立（可惜证明有漏洞，后来被补上）；

• 1976年，瓦格斯塔夫证明了对小于125000的奇素数猜想成立。

但是不管n多么大，也只能代表一部分情况，沿着这一思路证明对于所有的（无穷多个）大于等于3的n都成立，好像不可行。

那就得另想办法。

1983年（当时我已经3岁了），德国数学家法廷斯（Faltings）利用代数几何的思想证明了数论中的莫代尔（Mordell）猜想，后来因此获得了菲尔兹奖，让大家看到解决费马大定理的曙光。1984年，德国人弗雷提出，若能证明“谷山-志村猜想”，就可证明FLT。可惜他的证明中有许多漏洞。不怕！1986年，美国数学家利贝（Ribet）给出了弗雷构思的严格证明。下面大家的任务就是去证明“谷山-志村猜想”了。

此时一个叫怀尔斯的人盯上了费马大定理。

怀尔斯

怀尔斯1953年6月23日出生于英国剑桥，并于1977年（25岁）获剑桥博士学位，1982年（30岁）成为美国普林斯顿大学数学教授，并成为一名数论学家。他在不知道“谷山-志村猜想”与费马大定理的连带关系的时候，已经在证明“谷山-志村猜想”方面做出了一些重要成果。而当他偶然得知只要证明“谷山-志村猜想”，费马大定理就可随之被证明之后，它便放弃了所有与此无关的研究，专注于这一个证明。

1986_{1991，五年之后，仍没有好的思路，他开始参加会议并谋求合作；1991}1993，他耐住寂寞，继续努力。

1993年6月23日，怀尔斯回到母校剑桥做学术报告，两百名数学家出席，但只有四分之一能明白他说的是什么。当他在报告行将结束时，轻描淡写地说“至此我们就证明了谷山-志村猜想”时，很多人还不知道发生了什么。当大家回过神来，会场爆发出了热烈的掌声。

费马大定理被证明出来了。

《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。一家国际制衣大公司甚至邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模特。欧麦ladygaga！

高兴得有点太早了！

当怀尔斯将手稿投到专业数学期刊，编辑部找来6位顶级数学家作为审稿人来审核其正确性，不幸在8月发现了证明中的一个小错误。怀尔斯心想，这么小的错误，分分钟就可以修补好。但他没有想到，这个分分钟有点长了。半年过去，错误还在那里，不增不减。他打算承认失败。他的同事建议他找一名合作者共同修补，于是他找到自己曾经的一个学生，剑桥大学的讲师泰勒。又9个月过去了，错误还在，他又打算承认失败，泰勒说再坚持一个月。

就在这一个月里，灵感来了……这个漏洞最终还是被师徒二人补上。

最终的结果发表在1995年5月的《数学年刊》上，怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。有“数学界的诺贝尔奖”之称的菲尔兹奖只颁给40岁以下的年轻人，但是最后还是破例颁给了这个40多岁的“老男人”，只是奖的名称变成了“菲尔兹特别奖”。

1986_{1994，怀尔斯的孤独之路整整走了8年。1637}1994，人类证明费马大定理之路整整走了357年。

费马大定理终于向人类低下了它高傲的头颅。