用平方差法解决圆锥曲线的问题

平方差法又称为点差法，该方法的核心是平方差公式：

在涉及圆锥曲线与弦的关系时，该公式往往具有很好的效果。而且，对于各类圆锥曲线，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线，该方法都适用。

点差法以及由点差法推导得出的一些常用结论，属于高考数学中的高频考点，务必要重视。

用平方差法研究椭圆的弦

以 表示椭圆上两个不同的点

两式相减可得：

当然，也可以写成：

其中， 代表弦 的中点。

【解读公式】

以上公式可以用文字解读如下：

对于以 轴和 轴为对称轴的椭圆，其弦的斜率与经过原点和弦的中点的直线的斜率的乘积等于定值。

这是一个重要的常用结论，也是高频考点。

【真题实例】

2015年的全国卷二中，直接把以上常用结论的推导过程作为考题。详见：

2015年文数全国卷B题20

还有更多考题，则是在解答过程中需要应用上述结论：

2010年文数全国卷题20

2010年理数全国卷题20

2013年文数全国卷B题20

2020年理数全国卷A题20

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用平方差法分析抛物线的弦（以 轴为对称轴）

抛物线的方程：

因为 两点在抛物线上，所以，

，

记 中点为 ，则

或：

【解读公式】

以上公式可以用文字表述如下：

对于以 轴为对称轴的抛物线，以下结论成立：

（1）抛物线的弦的斜率与弦的中点的 坐标的乘积等于焦距 .

（2）同一组平行的弦（斜率相等），中点位于同一条垂直于 轴的直线上。

（3）根据抛物线的弦的斜率，可以算出弦的 坐标；反之亦然。

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【真题实例】

2018年数学全国卷B题20

2017年理数全国卷C题20

1987年全国卷题21

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用平方差法分析抛物线的弦（以 轴为对称轴）

抛物线的方程：

因为 两点在抛物线上，所以，

，

记 中点为 , 则

或：

【解读公式】

以上公式可以用文字表述如下：

【解读公式】

以上公式可以用文字表述如下：

对于以 轴为对称轴的抛物线，以下结论成立：

（1）抛物线的弦的斜率与弦的中点的 坐标的乘积等于焦距 .

（2）同一组平行的弦（斜率相等），中点位于同一条垂直于 轴的直线上。

（3）根据抛物线的弦的斜率，可以算出弦的 坐标；反之亦然。

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【真题实例】

2017年文数全国卷A题20

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用平方差法分析圆的弦

若圆 的方程为：

两点在圆上，并记 中点为 , 则

也就是说：. 实际上是用解析的方法得出了垂径定理。

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点差法用于讨论切线的斜率

如图所示，抛物线方程为：, 为抛物线的弦. 保持弦 的斜率不变，并向左移动，则其中点 的 坐标不变，同时 三点不断地靠近，最终变为一点. 这时，直线与抛物线只有一个公共点，直线也由抛物线的弦变为切线。

换言之，如果作一条与切线平行的弦，则弦的中点的 坐标与切点的 坐标相等。

若切点坐标为 , 则

切线的方程为：

同样的道理，如果抛物线的方程为：, 则

切线的方程为：

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平方差法可以发挥什么样的作用？

平方差法（点差法）的作用，概括地说，就是将弦的斜率与弦的中点坐标关联起来，可以解决的问题有好多：

（1）弦长问题

（2）求弦的中点的轨迹方程

（3）求弦的斜率范围

（4）求切线的方程

（5）定点问题

从前面的真题实例可以看出，这一方法在高考中用到的机会是很多的。

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