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函数零点问题：2021年新高考数学X题22

函数零点问题：2021年新高考数学X题22

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-07 22:18 被阅读0次

函数零点问题：2021年新高考数学X题22

分值：12分

已知函数 f(x)=x(1-\ln x) .

（1）讨论 f(x) 的单调性;

（2）设 a,b 为两个不相等的正数，且 b\ln a -a \ln b = a-b ,

证明：2 \lt \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \lt e .

【解答问题1】

函数的定义域为：(0,+\infty).

f'(x) = -\ln x

x \in (0,1), f'(x) \gt 0, f(x) 单调递增；

x=1,f'(x)=0, f(x) 取得极大值 f(1)=1, 同时，也是 f(x) 的最大值；

x \in (1,+\infty), f'(x) \lt 0, f(x) 单调递减；

【解答问题2】

∵ a,b 是两个不相等的正数，

b\ln a -a \ln b = a-b 等价于：\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a} \ln \dfrac{1}{a} =\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{b} \ln \dfrac{1}{b}

也就是：f(\dfrac{1}{a}) = f(\dfrac{1}{b})

所以，待证命题等价于以下命题：若 x_1 \neq x_2 且 f(x_1)=f(x_2), 则 2 \lt x_1+x_2 \lt e.

根据前节结论, 函数 f(x) 在 (0,1) 区间单调递增；在 (1,+\infty) 区间单调递减；

∴ x_1,x_2 分别在区间 (0,1), (1,+\infty) 内；

记 g(x)=f(2-x)-f(x),

h(x)=f(e-x)-x;

g'(x)=\ln(2-x)+\ln x

当 0 \lt x \lt 1, g'(x) \lt 0, 函数 g(x) 单调递减；

而 g(1)=0, ∴g(x) \gt 0;

∴ \forall x \in (0,1), f(2-x) \gt f(x);

h'(x)=\ln(e-x) -1

当 0 \lt x \lt e, 0 \lt (e-x) \lt e,

h'(x) \lt 0, 函数 h(x) 单调递减,

而 h(e) =0,

∴ \forall x \in (0,1), h(x) \lt 0, f(e-x) \lt x

又∵ x \lt f(x), ∴ f(e-x) \lt f(x)

综上所述，若 x_1 \in (0,1), 则 f(2-x_1) \gt f(x_1), f(e-x_1) \lt f(x_1);

若 x_2 \ne x_1 且 f(x_1)=f(x_2), 则必有：2-x_1 \lt x_2 \lt e-x_1.

也即：2 \lt x_1+x_2 \lt e .

证明完毕.

【提炼与提高】

函数思想是高中数学的重点内容，也是高考数学的重头戏.

本题是2021年新高考数学卷的最后一道大题，分析其考查内容，有以下要点：

「函数零点存在定理」

「用导函数讨论函数的单调性」

「用导函数证明不等式」

「放缩技巧」

【回归教材】

零点问题是函数大题的常考题型，经常需要综合多方面的知识解答.

「函数零点定理」安排在《必修一》，并配有很好的习题. 建议复习一下：

从课本到高考的高中数学笔记：函数零点存在定理

【微操指南】

求导函数是解答这类问题的基本功，平时要勤加练习，并多作总结，找到最佳解题路径，以免临场慌乱.

本题中涉及复合函数的求导，需要注意一下.

(\ln x)' = \dfrac{1}{x}

(x\ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = \ln x +1

记

f(t)=t-t\ln t

\varphi(x) = e-x

h(x)=f(\varphi(x))

则

f'(t)=-\ln t

\varphi'(x)=-1

h'(x) = f'(t) \cdot \varphi'(x) = (-1) \cdot (-1) \cdot \ln (e-x)

=\ln(e-x)

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    本文标题：函数零点问题：2021年新高考数学X题22

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