MIT 线性代数 5.置换-转置-向量空间

作者: 光能蜗牛 | 来源:发表于2022-05-26 15:22 被阅读0次

1.置换矩阵

前面讲 $A=LU$ 分解的时候我们限定是A在消元过程中不需要行互换
而实际上我们经常会需要对A做行互换
也就是我们可以扩展写为
$PA=LU$
其中P表示Permunation。即置换矩阵
也就是说对于特殊的A，因为不需要行互换，所以其P矩阵刚好是单位矩阵，因此就是特殊的
$A=LU$ 的形式
显然，大部分矩阵的一般情况都是
$PA=LU$

2.转置矩阵

假设有矩阵
$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$
$A^T=\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}$

$A^TA=\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a^2+c^2&ab+cd\\ab+cd&b^2+d^2\end{bmatrix}$
可以观察到上面这个矩阵是一个对称阵
其实证明也很简单
试着对 $A^TA$ 取个转置
$(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA$
也就是说转置矩阵有一个重要的性质，即即任意的矩阵通过
$A^TA$ 或者 $AA^T$ 的形式都可以构造出对称矩阵

3.向量空间

$R^n$

$R^n$ 表示所有的 $n$ 维向量构成的空间，且所有的这些向量空间里的向量之间的运算，包括数乘，相加减得到的向量依然在该向量空间

子空间

具体一点给个例子，比如说 $R^2$ 子空间，
其子空间有：
1. $R^2$ 自身
2.任意过原点的直线
3.原点本身
具体来说，子空间必须满足子空间内部的所有元素必须满足数乘和加减依然在子空间内部

思考说 $R^3$ 子空间:
1. $R^3$ 自身
2.任意过原点的平面
3.任意过原点的直线
4.原点本身

思考对于矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&4\\7&1\\8&9\end{bmatrix}$
这里我们把列向量
$\begin{bmatrix}1\\7\\8\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}4\\1\\9\end{bmatrix}$ 称之为矩阵A的列空间，因为由这两个向量，经过对他们进行组合可以得到任意过原点的平面，也就是子空间

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