2018年理数全国卷C题21
已知函数 .
(1)若 ,证明∶当 时,;当 时,;
(2)若 是 的极大值点,求 .
【解答问题1】
函数 的定义域为 .
若 ,则
函数 单调递减, 单调递增,;
函数 单调递增, 单调递增,;
证明完毕.
【解答问题2】
令 ,则
若 是 的极大值点,则存在 , 使得 在区间 内, 单调递增,在区间 内,单调递减.
相应地,其一阶导函数 的值有以下特征:
;
;
;
其二阶导函数 存在两种情况:
① ;
② ;
本题中,, 情况 ① 不成立,所以情况 ② 成立。换言之, 同时也是 的极值点,必要条件是:
解得:
又∵
∴ 当 , 存在 , 使得
综上所述, 既是必要条件,也是充分条件.
【提炼与提高】
对于极值问题,求导是个好办法。如果一次不行,还可以两次、三次。
需要注意的是: 仅仅是 函数 在 处取得极值的必要条件,而并非充分条件.
举例来说, 对于 来说 , 是极值点;而对于 来说, 则不是极值点,而是一个驻点。
在高中阶段接触的函数都是连续函数。对于这类函数,根据一阶、二阶导数来判断其极值点的方法如下:
(1)如果 , 则 是函数 的极小值点;
(2)如果 , 则 是函数 的极大值点;
(3)如果 , 则需要根据更高阶的导函数来判断。举例说明如下。
例一:记
,
不是函数 的极值点,而是驻点;
例二:记
;
是函数 的极值点;
记住以上两个实例,遇到类似问题,可以依法炮制.
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