UX010
在数系扩张的过程中，非常重要的工作是在更大的范围上建立的运算规则。
从纯形式的角度建立运算的规则，在19世纪30年代逐步完成。
咱不需要再去探索那些繁琐的细节，只需要掌握规律。
最后，还探讨了一下，复数(虚数)存在性的问题。
以后如果有人再跟你说什么“虚数是不存在的”这种屁话，你可以直接回击。
加减乘除
复数的组成
复数 中，a和b都是实数。
叫做“实部”，
叫做“虚部”，
叫做“虚数单位”。
相等的判断
如果两个复数的和
部分都相等，那么它们相等。
其实这个非常容易理解，因为 中，
是确定的，那么体现出区别的就只有
和
，这两个相等，那就是相等了。
无法比较大小
➣实数中如何比较大小?
如果，那么
。
➣这里的什么意思?
计算结果为负，也就是方向是180°。
可以看到，比较大小，也就是看最终的差的方向。
差的方向和哪一边的方向一致，哪一边就大。
所以纯虚数显然是可以比较大小的；有两个复数和
，且
，那么
和
也是可以比较大小的，因为差的方向必定是
或者
的。[1]
但是广义上的复数是不可以的，因为方向变化多端。
最终计算结果的方向，可能既不是也不是
。
但是，长度是可比较的，或者说“向量的模”，因为“长度”是实数。
加减乘除
和实数一致，把看成一个代数即可。
。
复数的除法运算，做多项式展开
复数运算的几何意义
前面我们曾经提到，“复数”这个名称就是高斯给起的，高斯对于“复数”的几何意义有很多的研究。
可以说，正是因为高斯的研究，复数运算的正确性， 以及由人们赋予它及其运算的几何解释， 才得到证实。[2]
复数的乘法和加法的几何意义
加法
复数可以看成向量，所以加法可以用“平行四边形法则”，也就是两个向量，首尾相连。[3]
简单的向量加法
非特殊值的向量加法
乘法
因为是旋转90°，复数中的
和
都是实数，运算规则也和实数一样。
所以，复数乘法显然就是模相乘而角度相加。
复数乘法显然就是模相乘而角度相加
绝对值
计算复数的绝对值，也就是计算它的长度，或者说计算向量的模。
从几何上来看，也就是已知三角形的直角边，计算斜边，所以计算公式也就是勾股定理的公式。
共轭复数
前面谈到高斯，在研究“费马平方和定理”的时候，把公式变换为，才发现了“复数”的意义。
高斯变出的，其实就是两个共轭复数的乘积。
共轭复数指的就是，其他都一样，只有虚部符号相反的复数。
从图上来看，共轭复数其实就是关于x轴对称的两个向量。
向量相乘就是角度相加，所以正好抵消了，那么也就落在x轴上。
共轭复数
更多运算
平方非常简单，，开方
其实也就是
，
还可以做指数，比如
。
有一个好消息，我要告诉你：复数幂运算是封闭的。所以怎么折腾也没关系。
至于运算规则，及其几何意义，按下不表。
后面谈到三角函数的时，就会用，那时再谈不迟。
复数是否存在
如果实数存在的话，那么复数也存在。
复数和我们的生活息息相关，只不过在生活中藏的更深一些，不是那么显而易见罢了。
就喜欢你没见识的样子
其实，电气工程中会用到复数来描述 电流、电压和时间 的关系。[4]
为什么这么描述呢?
因为，复数可以看成旋转，世界上的很多东西都是波，波就是在转来转去，所以用表示，就会非常简洁。
比如在电路中，可以用这种图像来描述时间与电压
电流
的关系。
描述时间t与电压y电流x的关系
本来，电压和电流
之间的关系是很不明朗的，计算起来非常麻烦。
但是，我把两个式子合并，那么就变成了一个三元函数。
你可以想象，空间中有两个垂直坐标，然后把其中一个向上翻转90度，让他们的轴共线，之后插起来。
这样就形成了一个三维坐标系，就把电压和电流看成一个复数，来研究它们与时间
的关系，合并之后就变成了一个美丽而简洁的图像。
从顶部来看这个图像，电压和电流的变化就是一个圆圈。
从顶部来看这个图像
侧面来看，其实就是一个螺旋圈。
电磁学与复数
所以，以后如果有人说“复数不存在”这样的屁话，就把一个线圈拿给他看：“不存在你个头啊，喏，这不就是复数吗?就喜欢你没见识的样子”。
复数的实体
注释
[1] 网上大部分人都说不能，所以我这种说法极有可能是错误的，但是到目前为止，我没有看到一个让我信服的解释。要不就是一大堆公式符号看不懂，要么就是复制粘贴别人的结论。所以姑且先把这个极可能是错误的放在这儿。以后类似的地方，我不会再这么啰嗦，直接写明，“极有可能是错的”。具体的解释已加入 常见问题解答(FQA)中。
[2] 图片以及文字摘自《高观点下的初等数学》。
[3] 图片摘自《虚数的故事》。
[4] 图文摘自《图解数学学习法》和 https://www.zhihu.com/question/23234701 @Heinrich 。
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作者信息
心如止水：阅读 思考 践行
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