3. 数据的概括性度量

作者: 李小夭 | 来源:发表于2017-04-23 21:54 被阅读0次

数据的分布特征可以用柱形图、折线图或饼图等各种图表直观地进行展现。反映数据的分布特征的代表值,通常用集中趋势离散程度分布形状来描述。

1. 当我们在谈统计学时,提到过数据按计量单位分为分类数据、顺序数据和数值型数据,针对这三种不同的数据类型,数据分布特征的描述也都不相同。


一、集中趋势:数据向中心值靠拢的程度

1. 分类数据——众数:出现次数最多的变量值(EXCEL:MODE函数)。

2. 顺序数据——中位数和分位数:中位数是指一组数据排序后在中间位置的变量值(EXCEL:MEDIAN函数)。四分位数是指一组数据排序后处于25%和75%位置上的值,其实中位数就是50%位置上的值(EXCEL:QUARTILE函数)。

3. 数值型数据——平均数:数据相加后除以数据的个数(EXCEL:AVERAGE函数)。

4. 众数、中位数和平均数的比较

不同分布的众数、中位数和平均数

当数据为偏态分布时,可以考虑选择中位数,代表性比平均数好。举个例子:

张村有个张千万,九个邻居穷光蛋。

统计平均算一算,各个都是张百万。

问:如果你要去张村做生意,是卖奢侈品还是生活用品?


二、离散程度:变量值远离中心的程度

1. 分类数据——异众比率:非众数组的频数的占比。占比越小,众数的代表性越好。

2. 顺序数据——四分位差:上四分位数与下四分位数之差。四分位差越小,集中程度越高。

3. 数值型数据——方差和标准差

(1)方差:计算公式如下,标准差为方差的平方根。

方差计算公式

分母n-1称为自由度。自由度是指一组数据中可以自由取值的个数,在方差公式中,首先计算的是X的平均数,在X的平均数确认后,必然有一个值不能自由取值,能自由取值的个数就是n-1个。

举个例子,假如有三个数,X平均值为5,其中有两个数分别为6和7,那么第三个数必然为2。

(2)相对位置的度量

在处理不同量纲的变量时,为了消除量纲差异,需要对变量进行标准化。

标准分数

标准分数表达了在一组数据中,各数值的相对位置。比如Z=-1.5,也就是比平均数低1.5个标准差。

除此之外,对称分布时的正态分布,任何分布形状的切比雪夫不等式,都对数据的分布与均值和标准差的关系做了很好的解释,后面涉及到时再做展开。

(3)离散系数

平均水平不同的变量,不宜直接比较标准差。离散系数能消除变量值水平高低和单位不同的影响。

离散系数(变异系数)= 标准差/平均值

离散系数越大,离散程度也越大。对不同的样本数据进行比较时,通常用离散系数。


三、偏态与峰态

偏态与峰态分布

1.偏态SK:对数据分布对称性的测量。(EXCEL:SKEW函数)

SK>0 右偏,SK<0,左偏。SK=0,对称。越接近0 ,偏态程度越低。SK越大,偏斜程度越大。

2.峰态K:数据分布平峰或尖峰程度的测量。(EXCEL:KURT函数)

峰态是与标准正态分布比较,服从标准正态分布,K=0。K>0,尖峰分布,数据比较集中,K<0,平峰分布,数据比较分散。

在EXCEL中,我们可以通过数据分析—描述分析,来获取偏度峰度,以及其他的数据概括性度量值。

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