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解析几何之目：2022年新高考数学卷题21

解析几何之目：2022年新高考数学卷题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-06-10 23:47 被阅读0次

2022年新高考数学卷题21

已知椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \,(a \gt b \gt 0) 过点 (0,1), 离心率为 \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

（1）求椭圆 C 的标准方程;

（2）直线 y=k(x+1) 与椭圆 C 交于 A,B 两点，过 AB 作直线 l:x=-2 的垂线，垂足分别为 M,N，点 G 为线段MN 的中点，F 为椭圆 C 的左焦点．求证：四边形 AGNF 为梯形.

【解答问题1】

\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow e^2=\dfrac{1}{2} \Rightarrow b^2=c^2=\dfrac{a^2}{2}

椭圆 C 过点 (0,1) \Rightarrow b^2=1

\Rightarrow c^2=1, a^2=2

椭圆 C 的标准方程为： \dfrac{x^2}{2}+y^2=1.

【解答问题2】

根据前节结论，a=\sqrt{2},c=1,

左焦点为 F(-1,0),

直线 y=k(x+1) 过点 F, 是焦点弦；

记直线 AB 的倾角为 \theta, 则 FA=\dfrac{a(1-e^2)}{1-e \cos\theta},\; FB=\dfrac{a(1-e^2)}{1+e \cos\theta}

x_{_A}=-1+ \dfrac{a(1-e^2)\cos\theta}{1-e \cos\theta}

y_{_A}=\dfrac{a(1-e^2)\sin\theta}{1-e \cos\theta}

x_{_A}=-1 - \dfrac{a(1-e^2)\cos\theta}{1+e \cos\theta}

y_{_B}= -\dfrac{a(1-e^2)\sin\theta}{1+e \cos\theta}

y_{_G}= \dfrac{1}{2} (y_{_M}+y_{_N}) = \dfrac{1}{2} (y_{_A}+y_{_B})

k_{_{AG}} = \dfrac{y_{_G}-y_{_A}}{x_{_G}-x_{_A}} = \dfrac{y_{_A}-y_{_B}}{2x_{_A}+4}

k_{_{FN}} = -y_{_B}

代入数值可得：

y_{_A}-y_{_B}=\dfrac{4\sqrt{2}\sin\theta}{4-2\cos^2\theta}

2x_{_A}+4=\dfrac{4}{2-\sqrt{2}\cos\theta}

-y_{_B} (2x_{_A}+4)=\dfrac{4\sqrt{2}\sin\theta}{4-2\cos^2\theta}

∴ y_{_A}-y_{_B}=-y_{_B} (2x_{_A}+4)

∴ k_{_{AG}}=k_{_{FN}}

∴ AG // FN

又 ∵ 直线 l 与 y 轴平行，直线 AB 与 y 轴不平行，∴ 直线 l 与 AB 不平行，

∴ 四边形 AGNF 是梯形. 证明完毕.

【提炼与提高】

直线 y=k(x+1) 过点 F, 是焦点弦；借用椭圆的极坐标方程解答此题，效率是比较高的.

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