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同济高等数学第七版1.8习题精讲（续）

同济高等数学第七版1.8习题精讲（续）

作者: 解冒号 | 来源:发表于2019-10-08 21:52 被阅读0次

6.证明：若函数f(x)在点x_0连续且f(x_0)\neq0,则存在x_0的某一邻域U(x_0)，当x\in U(x_0)时，f(x)\neq0。

解：不妨假设f(x_0)>0.函数在点x_0连续，所以\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)>0。根据极限保号性，必然存在0<|x-x_0|<\delta,使得f(x)>0。当x\in U(x_0)时，f(x)>0。即f(x)\neq0。

7.设f(x)= \begin{cases} x,x\in Q, \\0,x\in Q^c. \end{cases}

证明：(1)f(x)在x=0连续；(2)f(x)在非零的x 处都不连续。

证明：(1)根据极限的定义证明。对于任意的\epsilon>0,总存在\delta>0,为了说明方便，设\delta=\epsilon.当0<|x-0|<\delta时，|f(x)-f(0)|=|f(x)|\leq|x|<\epsilon.故\displaystyle lim_{x\to 0}=f(0),即f(x)在x=0处连续。

(2)证明在非零的x 处都不连续。只要证明出极限值不等于函数值之类的就可以。同时请注意，下面的语言仅仅帮助大家理解。并非严格的证明。

假设非零的x 处是有理数r\neq0,分别取一有理数列无限接近于r，则该数列的极限趋向于r且并不等于0.而取一无理数列无限接近与于r，则该数列的极限趋向于r且等于0.所以极限不存在，也就不能连续了。

假设非零的x 处是无理数r,同理极限不存在。所以无法连续。

8.试举出具有以下性质的函数f(x)的例子：

x=0,\pm1,\pm2,\pm\frac{1}{2}，\cdots,\pm n,\pm\frac{1}{n}，\cdots,是f(x)的所有间断点，且都是无穷间断点。

解：f(x)=cot(x\pi)+cot(\frac{\pi}{x})

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