机器学习面试中一大类问题就是比较不同模型的异同。这类问题可以迅速刺探出面试者对模型理解的深度，因为它不像单一模型的问题，只要你将这个模型的推导搞清楚，原理说清楚就可以了，而是要求你对不同模型背后的思想有深刻的认识。否则，即使从网上背了一些现成的答案，也很难蒙混过关。本文题目就是一道这样的题。如果你看了题目感觉毫无头绪，那就打起精神看下去吧。

# 1 从损失函数说开去

svm和lr都是分类模型。我们假设正类为y1=+1，负类为y2=-1。分类模型的基本思路很简单，就是找一个函数f(x)，我们希望，如果x为正类，那么f(x)的值是正的，如果x为负类，那么f(x)的值为负的。这个要求也可以换个说法，就是使y*f(x)始终为正，不难发现，这个要求和上面的要求是等价的。

这样变换的目的何在？答案就是，对于一个样本(x,y)，f(x)这个函数对该样本预测的loss就成为了y*f(x)的函数。我们可以很容易定义出，如果y*f(x)大于0，预测正确，那么loss为0，如果小于0，那么预测错误，loss为1。将这样的loss降低到0就是我们的终极目标！也就是说，这种loss是我们真正在乎的loss。因为这样的loss降低到0，意味着我们对样本的预测是完全正确的。如下图所示:

上面的图用函数来描述就是如下：

这里的δ函数称为指示函数，即如果y*f(x)小于0，其值为1，否则为0。

既然f(x)在一个样本上的loss可以用δ(y*f(x))衡量，自然就可以衡量在整个训练集上的loss，如果训练集有N笔数据，我们可以得到f(x)在整个训练集上的平均loss:

按照一般套路，下面自然是调整f(x)函数的各个参数，尽可能地最小化loss。But，这个loss不太好最小化哇。

拿其中一个样本(xi,yi)来说，假设现在yi*f(xi)是小于0的，其预测loss为1，若想使得f(x)在这个样本上预测loss降低，我们只能调整f(x)的参数，使得yi*f(xi)大于0，但是显然，若只对f(x)的参数进行微弱的调整，yi*f(xi)的符号很难改变，因为此时，yi*f(xi)对于f(x)的参数来说是连续的。若对f(x)的参数进行大刀阔斧的调整，一步到位使得yi*f(xi)改变符号，则调整后得到的新f(x)在(xi,yi)以外的样本上的预测loss将会完全不可控，因为f(x)的参数变动太剧烈了，从而无法保证新的f(x)在整个训练集上的loss降低。

这里，我们可以体会一下大家熟悉的SGD的思想，它背后的假设就是当你轻微地调整f(x)的参数，使得其对于某个样本的预测loss减小时，微调后的f(x)在其它样本上的loss的和大概率会保持不变，或者说对其他样本的预测loss有的增大，有的减小，总体上可以互相抵消。没有这个假设，SGD就不会有效果。

理想很丰满，现实很骨感，这个问题怎么解决？

对此，svm和lr都给出了自己的解决方案，它们的解决方案有相同的地方，也有不同的地方。

#2 替换掉δ

在上面的分析中，我们看到，loss虽然很硬很完美，但是没法最小化，原因在于我们选择的损失函数是δ，前面提过，这个损失函数是我们理想意义上的损失函数，这个损失函数是关于y*f(x)的指示函数。

仔细体会一下，充分发动我们的直觉，不难发现，f(x)对一个样本预测的loss大小与y*f(x)有着非常密切的关系。假设y=1，y*f(x)若为正，说明f(x)也为正，并且y*f(x)越大，说明f(x)正的越大，意味着我们的函数f越倾向于将x预测为+1类别。y=-1时，y*f(x)若为正，说明f(x)为负，并且y*f(x)越大，说明f(x)负的越多，意味着我们的函数越倾向于将x预测为-1类别。

从这个角度看，我们的δ其实就是刻画了f对样本的loss与y*f(x)之间的这种关系，只是刻画的比较死板。

假设我们可以找到一个新的函数l，它也可以用来刻画f对样本(x,y)的预测loss与y*f(x)的关系，并且函数l是函数δ的upper bound。即，对任意一个样本(x,y)，用函数l来评价某个特定的函数f对该样本的预测loss会始终大于用函数δ的评价结果, δ(y*f(x))<=l(y*f(x))。

那么，我们就可以尝试用l来代替δ，通过最小化l来达到最小化δ的目的。

行文至此，有必要重申下l，δ，f三个函数的关系，希望不要搞混了。下面我尝试用拟人的手法来进行叙述，希望能够对大家的理解有所帮助。

f就是我们的模型函数，是我们要优化的。δ是我们优化f的最高理想，δ告诉f：“嗨！f，对于样本(x,y)，你的预测值是f(x),对这个预测值错误的程度是δ(y*f(x))”，f在δ面前表示非常无奈：“δ老大，你这不是为难我吗，你告诉我的错误程度要不是1，要不是0，0还好说，表示我预测正确了，这样的样本我可以不再管，可对错误是1的样本，我开始改变自己，你总得告诉我，我改变之后，离错误为0是近了还是远了吧。你这都不告诉我，可让我怎么优化我自己呢？”

其实，δ心中清楚，只要f朝着使y*f(x)增大的方向优化自己，就会变得越来越完美。但δ就像一个刻板的父亲，只愿意告诉f它做的是对是错，不屑于告诉它如何做对。

可见，δ的问题主要在于两点，f预测错误时不告诉正确的方向，其二，f即使刚刚预测正确，立马告诉f错误为0，达到perfect，而不会指导f朝更加优秀的方向去努力。

l相当于我们为f找的一个温柔的母亲，什么样的母亲会是合格的母亲呢，当然是能够很好地纠正父亲δ的缺点的母亲。对一个样本，如果f预测错误，即y*f(x)是负的，它会告诉f，越负错误程度越大，要赶紧想办法增大y*f(x)，同时，因为预测错误时，δ说错误程度是1，做为母亲的l可不敢顶撞δ，所以我们希望l告诉f 的错误程度应当要大于1。毕竟，δ才是真正的权威（这里无意宣传男权思想，只是为了叙述的简明，请女士们不要误解）

另一方面，当f对一个样本预测正确时，即y*f(x)为正，l应当鼓励f朝更加正确的方向去优化，而不应当像δ那样，一旦f预测正确，就告诉它错误程度为0，让f骄傲自满，不思进取。

以上，我们大致分析了l应当具有的性质。svm和lr就是两种相似但又不同的l，下面我们具体分析下。

#3 lr的l是完美的母亲

lr模型为f找的l是这个样子的：

只从数学式子上看，好像看不出啥意思，我们将它画出来就清楚了。

看到这个图，会不会豁然开朗，这不就是我们在第二部分中描述的完美的母亲形象吗！当f对样本(x,y)预测错误时，l评估的错误程度总是大于1的，并且，y*f(x)越负，则l评估的错误程度越严重，同时，l会指出正确的优化方向。同时，当y*f(x)为正时，l并不会像δ那样立马告诉f，对这个样本的错误程度为0了，而是会告诉f，此时的错误已经小于1了，如果能让y*f(x)更加大，则错误还会继续减小的，从而让f精益求精。

#4 svm的l更像一个年长的姐姐

svm为f找到的l是这个样子的：

哟！这个l长得也蛮怪哦 ，啥也不说了，无图无真相：

对比svm和lr，我们发现，当f对一个样本预测错误时，它们的l是比较类似的，当f对样本刚刚预测正确时，它们的行为也是类似的，只不过一个是曲线，一个是直线而已。但是，当f对样本预测正确并且大于一定程度时，确切说就是当y*f(x)大于1时，二者的行为明显不同，lr的l还会鼓励f继续增大y*f(x)，而svm则会告诉f，对这个样本预测已经非常完美了。

#5回答文章题目中的问题

知道了svm和lr 区别，我们再来看看，所谓out lier，是怎么产生的，无非有两种情况，一种就是这个样本的标签y搞错了，一种就是没搞错，但这个样本是一个个例，不具备统计特性。

不论对于哪一种情况，svm会在f将这个out lier预测的比较正确时，就停止，不会一直优化对out lier的预测，因为没有什么太大意义了。而lr则不同，它会继续要求f对这个out lier的预测进行优化，并且永不停止，显然，这样的优化很可能会削弱f的泛化性能，因为没有必要死磕out lier 。

答案就是SVM！！！