- 全排列
- 带重复元素的排列
- 下一个排列
- 上一个排列
- 第 k 个排列
- 排列序号
- 排列序号II
全排列
给定一个数字列表，返回其所有可能的排列。
注意事项
你可以假设没有重复数字。
样例
给出一个列表[1,2,3]，其全排列为：
[
[1,2,3],
[1,3,2],
[2,1,3],
[2,3,1],
[3,1,2],
[3,2,1]
]
分析
可以用递归和非递归解决
首先递归法，也是利用了回溯法和深度优先搜索。
我们考虑一个一个将数组元素加入到排列中，递归求解，就好像下面的解答树：
Paste_Image.png
添加的时候排除掉相同的元素即可，回溯法我们经常会设置一个已访问标识数组，来表示数组被访问过，但这里不用这样，因为如果list里面已经包含就说明已经访问过了，所以只要判断，跳过已有的元素即可。
再考虑递归的结束条件，当元素都添加足够就结束了，添加足够的意思就是，元素个数等于数组的长度。
class Solution {
/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: A list of permutations.
*/
public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
if(nums == null)
return res;
if(nums.length == 0)
{
res.add(new ArrayList<Integer>());
return res;
}
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
dfs(res, list, nums);
return res;
}
private void dfs(List<List<Integer>> res, ArrayList<Integer> list, int[] nums) {
int n = nums.length;
if(list.size() == n)
{
res.add(new ArrayList<Integer>(list));
return;
}
for(int i = 0;i < n;i++) {
if(list.contains(nums[i]))
continue;
list.add(nums[i]);
dfs(res, list, nums);
list.remove(list.size() - 1);
}
}
}
非递归实现
思路是这样的，就是高中的排列组合知识，运用插入法即可，假设有i个元素的排列组合，那么对于i+1个元素，可以考虑就是将i+1的元素插入到上述的排列的每一个位置即可。
class Solution {
/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: A list of permutations.
*/
public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
if ( nums == null)
return res;
if( nums.length == 0)
{
res.add(new ArrayList<Integer>());
return res;
}
List<Integer> list = new ArrayList<>();
list.add(nums[0]);
res.add(new ArrayList<Integer>(list));
for(int i=1;i<nums.length;i++) {
int size1 = res.size();
for(int j=0;j<size1;j++) {
int size2 = res.get(0).size();
for(int k=0;k<=size2;k++) {
ArrayList<Integer> temp = new ArrayList<>(res.get(0));
temp.add(k,nums[i]);
res.add(temp);
}
res.remove(0);
}
}
return res;
}
}
带重复元素的全排列
给出一个具有重复数字的列表，找出列表所有不同的排列。
样例
给出列表 [1,2,2]，不同的排列有：
Paste_Image.png
代码
class Solution {
/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: A list of unique permutations.
*/
public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
ArrayList<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
if(nums == null)
return null;
if(nums.length == 0)
{
res.add(new ArrayList<Integer>());
return res;
}
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
//先将数组排序，这样相同元素将会出现在一起
Arrays.sort(nums);
int n = nums.length;
int[] visited = new int[n];
for(int i=0;i<n;i++)
visited[i] = 0;//0标识未访问
helper(res, list, visited, nums);
return res;
}
private void helper(ArrayList<List<Integer>> res, ArrayList<Integer> list, int[] visited, int[] nums) {
if(nums.length == list.size()) {
res.add( new ArrayList<Integer>(list));
}
for(int i=0;i<nums.length;i++) {
if(visited[i] == 1 || i!= 0 && (visited[i-1] == 0 && nums[i] == nums[i-1]))
continue;
/*
上面的判断主要是为了去除重复元素影响。
比如，给出一个排好序的数组，[1,2,2]，那么第一个2和第二2如果在结果中互换位置，
我们也认为是同一种方案，所以我们强制要求相同的数字，原来排在前面的，在结果
当中也应该排在前面，这样就保证了唯一性。所以当前面的2还没有使用的时候，就
不应该让后面的2使用。
*/
list.add(nums[i]);
visited[i] = 1;
helper(res, list, visited, nums);
list.remove(list.size()-1);
visited[i] = 0;
}
}
}
下一个排列
给定一个若干整数的排列，给出按正数大小进行字典序从小到大排序后的下一个排列。
如果没有下一个排列，则输出字典序最小的序列。
样例
左边是原始排列，右边是对应的下一个排列。
1,2,3 → 1,3,2
3,2,1 → 1,2,3
1,1,5 → 1,5,1
分析
这道题让我们求下一个排列顺序，有题目中给的例子可以看出来，如果给定数组是降序，则说明是全排列的最后一种情况，则下一个排列就是最初始情况，可以参见之前的博客 Permutations 全排列。我们再来看下面一个例子，有如下的一个数组
1 2 7 4 3 1
下一个排列为：
1 3 1 2 4 7
那么是如何得到的呢，我们通过观察原数组可以发现，如果从末尾往前看，数字逐渐变大，到了2时才减小的，然后我们再从后往前找第一个比2大的数字，是3，那么我们交换2和3，再把此时3后面的所有数字转置一下即可，步骤如下：
1 2 7 4 3 1
1 2 7 4 3 1
1 3 7 4 2 1
1 3 1 2 4 7
所以我们要做的就是找到第一个比peak元素大的数字，交换，然后反转
public class Solution {
/**
* @param nums: an array of integers
* @return: return nothing (void), do not return anything, modify nums in-place instead
*/
public int[] nextPermutation(int[] nums) {
int i = nums.length - 2;
while (i >= 0 && nums[i + 1] <= nums[i]) {
i--;
}
if (i >= 0) {
int j = nums.length - 1;
while (j >= 0 && nums[j] <= nums[i]) {
j--;
}
swap(nums, i, j);
}
reverse(nums, i + 1);
return nums;
}
private void reverse(int[] nums, int start) {
int i = start, j = nums.length - 1;
while (i < j) {
swap(nums, i, j);
i++;
j--;
}
}
private void swap(int[] nums, int i, int j) {
int temp = nums[i];
nums[i] = nums[j];
nums[j] = temp;
}
}
上一个排列
给定一个整数数组来表示排列，找出其上一个排列。
注意事项
排列中可能包含重复的整数
样例
给出排列[1,3,2,3]，其上一个排列是[1,2,3,3]
给出排列[1,2,3,4]，其上一个排列是[4,3,2,1]
分析
与求下一个排列是一样的方法，只是相应的操作变反即可
public class Solution {
/**
* @param nums: A list of integers
* @return: A list of integers that's previous permuation
*/
public void swapItem(ArrayList<Integer> nums, int i, int j) {
Integer tmp = nums.get(i);
nums.set(i, nums.get(j));
nums.set(j, tmp);
}
public void swapList(ArrayList<Integer> nums, int i, int j) {
while ( i < j) {
swapItem(nums, i, j);
i ++; j --;
}
}
public ArrayList<Integer> previousPermuation(ArrayList<Integer> nums) {
int len = nums.size();
if ( len <= 1)
return nums;
int i = len - 1;
while ( i > 0 && nums.get(i) >= nums.get(i-1) )
i --;
swapList(nums, i, len - 1);
if ( i != 0) {
int j = i;
while ( nums.get(j) >= nums.get(i-1) ) j++;
swapItem(nums, j, i-1);
}
return nums;
}
}
第k个排列
给定 n 和 k，求123..n组成的排列中的第 k 个排列。
注意事项
1 ≤ n ≤ 9
样例
对于 n = 3, 所有的排列如下：
123
132
213
231
312
321
如果 k = 4, 第4个排列为，231.
分析
康托展开的公式：（不用记，看形势就行，下面会有例子）
X=an(n-1)!+an-1(n-2)!+...+ai(i-1)!+...+a21!+a1*0!
ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)
适用范围：没有重复元素的全排列
N个数的第k个排序，例子，1，2，3，4共有4！种排列，1234,1243,1324等等。按顺序应该是
1234
1243
1324
1342
1423
1432等等
可以通过STL中next_permutation（begin, end）;来算下一个全排列，理论上你要算n个数的第k个排列只要调用k-1次next_permutation()就行，但是一般来说肯定会超时的，因为next_permutation的时间复杂度是O(n)（如果自己写出来next_permutation时间复杂度比n大就要注意了，其中一个容易疏忽的地方是最后排序可以用reverse而不是sort）。所以如果用这个的话时间复杂度是O(N^2)。
而用康托展开只要O(n)就行，下面来说说具体怎么做:
题目：找出第16个n = 5的序列（12345）
首先第十六个也就是要前面有15个数，要调用15次next_permutation函数。
根据第一行的那个全排列公式，15 / 4! = 0 …15 =》 有0个数比他小的数是1，所以第一位是1
拿走刚才的余数15，用15 / 3! = 2 …3 => 剩下的数里有两个数比他小的是4（1已经没了），所以第二位是4
拿走余数3， 用 3 / 2! = 1 …1 =》 剩下的数里有一个数比他小的是3，所以第三位是3
拿走余数1， 用 1/ 1! = 1 …0 => 剩下的数里有一个数比他小的是 5（只剩2和5了），所以第四位是5
所以排列是 1,4,3,5,2
class Solution {
/**
* @param n: n
* @param k: the kth permutation
* @return: return the k-th permutation
*/
public String getPermutation(int n, int k) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
boolean[] used = new boolean[n];
k = k - 1;
int factor = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
factor *= i;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
int index = k / factor;
k = k % factor;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (used[j] == false) {
if (index == 0) {
used[j] = true;
sb.append((char) ('0' + j + 1));
break;
} else {
index--;
}
}
}
if (i < n - 1) {
factor = factor / (n - 1 - i);
}
}
return sb.toString();
}
}
排列序号
给出一个不含重复数字的排列，求这些数字的所有排列按字典序排序后该排列的编号。其中，编号从1开始。
样例
例如，排列 [1,2,4] 是第 1 个排列。
分析
这道题是求第k个排列的反向思维
已知是n = 5，求14352是它的第几个序列？（同一道题）
用刚才的那道题的反向思维：
第一位是1，有0个数小于1，即0* 4！
第二位是4，有2个数小于4，即2* 3！
第三位是3，有1个数小于3，即1* 2！
第四位是5，有1个数小于5，即1* 1！
第五位是2，不过不用算，因为肯定是0
所以14352是 n = 5的第 0 + 12 + 2 + 1 + 0 = 15 + 1（求的是第几个，所以要加一） = 16
第16个，跟刚才那道题一样，证明对了
public class Solution {
/**
* @param A an integer array
* @return a long integer
*/
public long permutationIndex(int[] A) {
// Write your code here
HashMap<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
for (int i = 0; i < A.length; i++) {
if (hash.containsKey(A[i]))
hash.put(A[i], hash.get(A[i]) + 1);
else {
hash.put(A[i], 1);
}
}
long ans = 0;
for (int i = 0; i < A.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < A.length; j++) {
if (A[j] < A[i]) {
hash.put(A[j], hash.get(A[j])-1);
ans += generateNum(hash);
hash.put(A[j], hash.get(A[j])+1);
}
}
hash.put(A[i], hash.get(A[i])-1);
}
return ans+1;
}
long fac(int numerator) {
long now = 1;
for (int i = 1; i <= numerator; i++) {
now *= (long) i;
}
return now;
}
long generateNum(HashMap<Integer, Integer> hash) {
long denominator = 1;
int sum = 0;
for (int val : hash.values()) {
if(val == 0 )
continue;
denominator *= fac(val);
sum += val;
}
if(sum==0) {
return sum;
}
return fac(sum) / denominator;
}
}
排列序号II
给出一个可能包含重复数字的排列，求这些数字的所有排列按字典序排序后该排列在其中的编号。编号从1开始。
样例
给出排列[1, 4, 2, 2]，其编号为3。
分析
这道题基于查找不存在重复元素中排列序号的基础之上，
即P(n) = P(n-1)+C(n-1)
C(n-1) = (首元素为小于当前元素，之后的全排列值)
P(1) = 1;
而不存在重复元素的全排列值C(n-1) = (n-1)!*k(k为首元素之后小于当前元素的个数)
在存在重复元素的排列中首先全排列的值的求法变为：
C(n-1) = (n-1)!/(A1!A2!···Aj!)k(其中Ai 为重复元素的个数，k为小于首元素前不重复的个数)
/**
* @param A an integer array
* @return a long integer
*/
long fac(int numerator) {
long now = 1;
for (int i = 1; i <= numerator; i++) {
now *= (long) i;
}
return now;
}
long generateNum(HashMap<Integer, Integer> hash) {
long denominator = 1;
int sum = 0;
for (int val : hash.values()) {
if(val == 0 )
continue;
denominator *= fac(val);
sum += val;
}
if(sum==0) {
return sum;
}
return fac(sum) / denominator;
}
public long permutationIndexII(int[] A) {
HashMap<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
for (int i = 0; i < A.length; i++) {
if (hash.containsKey(A[i]))
hash.put(A[i], hash.get(A[i]) + 1);
else {
hash.put(A[i], 1);
}
}
long ans = 0;
for (int i = 0; i < A.length; i++) {
HashMap<Integer, Integer> flag = new HashMap<Integer, Integer>();
for (int j = i + 1; j < A.length; j++) {
if (A[j] < A[i] && !flag.containsKey(A[j])) {
flag.put(A[j], 1);
hash.put(A[j], hash.get(A[j])-1);
ans += generateNum(hash);
hash.put(A[j], hash.get(A[j])+1);
}
}
hash.put(A[i], hash.get(A[i])-1);
}
return ans + 1;
}
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