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多面体与球：「2011年全国卷题15」 「2012年全国卷题11

多面体与球：「2011年全国卷题15」 「2012年全国卷题11

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-23 20:54 被阅读0次

2011年全国卷题15

15.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB=6,BC=2\sqrt{3}，则棱锥 O-ABCD 的体积为 \underline{\mspace{100mu}} .

【解析】

如图所示，记对角线 AC, BD 的交点为 Q. \triangle ABC 是直角三角形，依据勾股定理可得：

AC^2=AB^2+BC^2=48

AC=4\sqrt{3}

AQ=2\sqrt{3}

\triangle OAC 是等腰三角形，\triangle OAQ 是直角三角形，所以

OQ^2=OA^2-AQ^2=4

OQ=2

S_{ABCD}=AB \times BC=12\sqrt{3}

V_{O-ABCD}= \dfrac{1}{3} \times S_{ABCD} \times OQ=8\sqrt{3}

2012年全国卷题11

（11）已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，\triangle ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为

(A)\dfrac{\sqrt{2}}{6} \qquad (B)\dfrac{\sqrt{3}}{6} \qquad (C)\dfrac{\sqrt{2}}{3} \qquad (D)\dfrac{\sqrt{2}}{2}

【解析】

如图所示，\triangle ABC 是正三角形，其外接圆的直径 EC=\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}

其面积 S_{\triangle ABC}= \dfrac{1}{2} ab \sin C=\dfrac{\sqrt{3}}{4}

因为 SC 为球 O 的直径，所以 \triangle SEC 是直角三角形，所以

SE^2=SC^2-EC^2=2^2\times \dfrac{2}{3}

SE=2\times\sqrt{\dfrac{2}{3}}

V_{S-ABC}=\dfrac{1}{3} \times S_{\triangle ABC} \times SE=\dfrac{\sqrt{2}}{6}

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