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多面体与球：2010年全国卷题10

多面体与球：2010年全国卷题10

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-02 19:05 被阅读0次

2010年全国卷题10

10.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

A.\pi a^2 \qquad B.\dfrac{7}{3}\pi a^2\qquad B.\dfrac{11}{3}\pi a^2\qquad B. 5\pi a^2

【解析】

棱柱的底面为正三角形，其处接圆的直径 2r = \dfrac {a} {\sin 60°} = \dfrac {2a} { \sqrt{3}}

根据勾股定理可得：

(2R)^2 = a^2 + (\dfrac {2a} { \sqrt{3}} )^2 = \dfrac {7} {3} a^2

球的表面积为 4 \pi R^2 = \dfrac{7}{3}\pi a^2

结论：选项B正确。

【提炼与提高】

本题难度适中，需要综合多方面的知识完成解答：

第1关：根据正三角形的边长计算其外接圆半径。根据正弦定理有以下公式：\boxed{2r=\dfrac{a}{\sin A}}

第2关：作出俯视图、侧视图。注意：俯视图是正三角形，但侧视图不是正方形，而是一个矩形。这是一个易错点。

第3关：根据勾股定理，计算出球体的直径和半径。

在一个考题中综合立体几何、平面几何与三角学等多方面知识，体现了当前高考命题的趋势和方向。

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