多面体与球：2017年全国卷A题16

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-01 23:24 被阅读0次

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2017年全国卷A题16

16.如图，圆形纸片的圆心为 $O$ ，半径为 $5cm$ ，该纸片上的等边三角形 $ABC$ 的中心为 $O$ . $D,E,F$ 为圆 $O$ 上的点， $\triangle DBC, \triangle ECA, \triangle FAB$ 分别是以 $BC,CA,AB$ 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以 $BC,CA,AB$ 为折痕折起 $\triangle DBC, \triangle ECA, \triangle FAB$ ，使得 $D,E,F$ 重合，得到三棱锥. 当 $\triangle ABC$ 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位∶ $cm^3$ ）的最大值为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

2017年全国卷A

【解析】

本题长度单位统一用 $cm$ , 在演算过程中省略单位。

如上图所示，记三棱锥的顶点为 $P$ .

记 $AB$ 中点为 $M$ ，并令 $|OM| = t$ , 则

$|MD|=(5-t)$

$|BC| = 2\sqrt{3} t$

$S_{\triangle ABC} = 3\sqrt{3}t^2$

$OP \perp$ 平面 $ABC$ , $\triangle POM$ 是直角三角形，根据勾股定理有：

$|PO|^2=|OM|^2-|OM^2=25-10t$

$(|PO|\cdot S_{\triangle ABC} )^2 = 27 t^4(25-10t)$

令 $g(t) = t^4(25-10t)=25t^4-10t^5$

$g'(t) = 100 t^3 - 50 t^4 = (100-50t)t^3$

$g'(2)=0$

当 $0 \lt t \lt 2,\; g'(t) \gt 0$ ;

当 $t \gt 2,\; g'(t) \lt 0$ ;

所以，当 $t=2$ 时， $g(t)$ 取最大值： $g(2)=2^4 \times 5$ .

$|PO|\cdot S_{\triangle ABC} = \sqrt{27\times 2^4 \times 5}=12\sqrt{15}$

$V_{P-ABC} = \dfrac{1}{3} \times |PO|\times S_{\triangle ABC}=4\sqrt{15}\; cm^3$

结论：当 $\triangle ABC$ 的边长变化时，所得三棱锥 $P-ABC$ 的体积（单位∶ $cm^3$ ）的最大值为 $4\sqrt{15} cm^3$ .

【提炼与提高】

本题属于客观题中的压轴题。综合度较高。要点如下。

1）根据平面图制作直观图，并根据勾股定理和等腰三角形的性质，并出中间的小圆与三棱锥的高的联系。

2）应用函数思想，构造一个描述体积变化的函数，并写出解析式。

3）应用导数工具，求出这个函数的最大值，从而求出体积的最大值。

在解答过程中，我们没有把体积直接定义为函数 $g(t)$ ，而是把体积公式中的关键部分定义为 $g(t)$ . 这一做法也算是一个小技巧，需要注意一下。

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