极坐标下二维拉普拉斯方程和泊松方程的求解

作者: Raow1 | 来源:发表于2021-04-01 23:22 被阅读0次

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1. 一般形式

对于方程 $\begin{cases} \Delta u =f(r,\varphi) \\ (\alpha u+ \beta u_r)|_{r=R_0}=u_0(\varphi) \end{cases}$ 如果 $f(r,\varphi) \equiv 0$ ，则方程为拉普拉斯方程，否则为泊松方程。

如果 $\beta =0$ ，则称其为狄利克雷问题；如果 $\alpha=0$ ，则称其为诺伊曼问题；否则为混合问题。

此外，根据 $r$ 的范围，还可分为圆域内，圆环，圆外三种。

2. 拉普拉斯方程

使用分离变量的方法，我们能够得出如下结论：

对于圆域内的问题，其解的形式为 $u(r,\varphi)=C_0+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}r^n(A_n\cos n\varphi +B_n\sin n\varphi)$
对于圆外的问题，其解的形式为 $u(r,\varphi)=C_0+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{r^n}(A_n\cos n\varphi +B_n\sin n\varphi)$
对于圆环上的问题，其解的形式为 $u(r,\varphi)=C_0+D_0\ln r+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(C_nr^n+\frac{D_n}{r^n})\cos n\varphi + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(A_nr^n+\frac{B_n}{r^n})\sin n\varphi$

所以，对于拉普拉斯方程，我们按形式设解，代入边值条件即可。（可能需要对边值条件中的 $u_0(\varphi)$ 进行傅里叶展开）

关于拉普拉斯方程三个不同形式的解：显然圆环上的解的形式是最全的。
对于圆域内的问题，因为 $r$ 可以取到0，如果留下 $\ln r$ 和 $r^{-n}$ 项，则此时当 $r \to 0$ 时， $u\to \infty$ ，这与实际的物理含义不符。
对于圆域外的问题，同理留下 $\ln r$ 和 $r^n$ 会使得在无穷远处 $u \to \infty$ ，也是与实际不符。

3. 泊松方程

显然，泊松方程是拉普拉斯方程的非齐次形式。我们的求解步骤为：找特解，转化为拉普拉斯方程，求拉普拉斯方程，综合。

对于 $f(r,\varphi)=ar^n\cos m\varphi$ 或是 $f(r,\varphi)=ar^n\sin m\varphi$

1.如果 $(n+2)^2\neq m^2$

则存在特解 $u^{*}=br^{n+2}\cos m\varphi$ 或 $u^{*}=br^{n+2}\sin m\varphi$

其中， $b=\frac{a}{(n+2)^2-m^2}$

2.如果 $(n+2)^2 = m^2$

则设特解 $u^{*}=\varphi(r)\cos m\varphi$ 或 $u^{*}=\varphi(r)\sin m\varphi$

求出特解后，作变换 $v=u-u^{*}$ 即可将泊松方程转换为拉普拉斯方程，然后求解拉普拉斯方程得到 $v$ ，从而 $u=v+u^{*}$ 。

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