玩智取“王位” 探极简模型

玩智取“王位” 探极简模型——例谈思维力在专题研究中的提撕之四

玩智取“王位” 探极简模型

智取王位是一项益智器具游戏。在一排木槽内有十一颗旗子，最后一颗为红色。游戏规则是：两人轮流拿，每次拿1～2颗。谁能取得最后一颗红旗子“王位”，即获胜。

玩智取“王位” 探极简模型 玩智取“王位” 探极简模型

乍一看似乎与运气有关，事实上，内含玄机，有规律可循。不妨引导学生由少到多，循序渐进，探究其中蕴含的规律。

首先引导学生明白在本游戏当中游戏规则是：1.两人轮流拿；2.每次取1～2颗；3.取到最后一颗获胜。

其次引领学生深入游戏，探究内情。

不难发现，当棋子为一颗或者是两颗的时候，先拿者，必定获胜。当棋子为三颗的时候后拿者必胜。其中策略有二：一、当先拿者取一颗的时候，后拿者取两颗获胜，即1+2型；二、当先拿者取两颗的时候，后拿者取一颗获胜，即2+1型。

这时让学生反复动手操作并体验：一或两颗，先者必胜；三颗，后者必胜。

随后，由少到多，追加旗子。当有四颗旗子的时候，先拿者还是后拿者获胜？让学生实践操作，在操作中体验并得出结论：先拿者取一颗后，剩下三颗，此时后拿者即本赛次中的先拿者，必胜。同理，当有五颗棋子的时候，可以得出结论：先拿者取两颗后，剩下三颗，此时后拿者即本赛次中的先拿者，必胜。这两次策略的区别就是先拿者取一颗或者是两颗。目的是一致的，都是剩下三颗。

紧接着试验，当有六颗棋子时的情形。让学生反复通过操作实验感悟到，后拿者必胜。策略同样有二：一、当先拿者取一颗的时候，后拿者取两颗，剩下三颗，重复三颗时的策略，必胜；二、当先拿者取两颗的时候，后拿者取一颗，剩下三颗，重复三颗时的策略，必胜。

依次类推，让学生推测当有七、八、九颗棋子时先拿者还是后拿者必胜，然后进行验证与感悟。

最后让学生体验到一、二、三颗，四、五、六颗，七、八、九颗旗子时情形是一致的，只不过是情形再现或重复。

事实上本游戏的核心就是三颗旗子时的取子策略问题。即本游戏有一个本质的极简模型——被3整除问题。当除数为3时，所有的非零自然数被分为余1数、余2数、整除数。要想获胜需设法必取余1数，绝不取整除数，余2数为调剂数。

如此一来，无论是11颗棋子还是另行增设棋子，当一方不知“内情”，知“内情”的一方定会伺机取胜。

游戏规则是人定的，一旦改变了游戏规则，游戏策略则需要重新探索。假如规定每次可以取一颗、两颗或三颗，怎样才能必胜呢？

此时可以引导学生采取同样的探究方法与策略进行探索。

当旗子数为1-3颗时，先拿者必胜，当四颗棋子时，后拿者必胜，策略有：1+3型，2+2型，3+1型。当五颗棋子时，先拿者必胜，策略有：1+1+3型，1+2+2型，1+3+1型。事实上就是先拿者先取一颗后，转变为四颗旗子时后拿者（即本赛次先拿者）必胜。

同理，当六颗棋子时，先拿者必胜，策略有：2+1+3型，2+2+2型，2+3+1型。事实上就是先拿者先取两颗后，转变为四颗旗子时后拿者（即本赛次先拿者）必胜。

当七颗棋子时，先拿者必胜，策略有：3+1+3型，3+2+2型，3+3+1型。事实上就是先拿者先取三颗后，转变为四颗旗子时后拿者（即本赛次先拿者）必胜。

当八颗棋子时，后拿者必胜，策略是按照四颗棋子时策略运用两次。

同前面游戏类似，本次游戏的核心就是四颗旗子时的取子策略问题。即本游戏有一个本质的极简模型——被4整除问题。当除数为4时，所有的非零自然数被分为余1数、余2数、余3数、整除数。要想获胜需设法必取余1数，绝不取整除数，余2数与余3数为调剂数。

当学生彻底感悟与体认后，游戏规则还可以进一步更改。通过实验，分析与推理可以得出更广泛更一般的模型。

游戏规则是：两人轮流拿，每次拿1~n颗。谁能取得最后一颗红旗子“王位”，即获胜。

必胜策略：本游戏的极简模型——被n+1整除问题。当除数为n+1时，所有的非零自然数被分为余1数、余2数、余3数……余n数、整除数。要想获胜需设法必取余1数，绝不取整除数，余2数、余3数……余n数为调剂数。