高等代数理论基础57：矩阵相似的条件

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-04-07 08:39 被阅读4次

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矩阵相似的条件

引理：若有 $n\times n$ 数字矩阵 $P_0,Q_0$ 使 $\lambda E-A=P_0(\lambda E-B)Q_0$ ,则A与B相似

证明：

$\because P_0(\lambda E-B)Q_0=\lambda P_0Q_0-P_0BQ_0$

$又与\lambda E-A相等$

$\therefore P_0Q_0=E,P_0BQ_0=A$

$\therefore Q_0=P_0^{-1}$

$而A=P_0BP_0^{-1}$

$\therefore A与B相似\qquad\mathcal{Q.E.D}$

引理：对任何不为零的 $n\times n$ 数字矩阵A和 $\lambda$ -矩阵 $U(\lambda)$ 与 $V(\lambda)$ ,一定存在 $\lambda$ -矩阵 $Q(\lambda)$ 与 $R(\lambda)$ 以及数字矩阵 $U_0$ 和 $V_0$ ,使 $U(\lambda)=(\lambda E-A)Q(\lambda)+U_0$ , $V(\lambda)=R(\lambda)(\lambda E-A)+V_0$

证明：

$将U(\lambda)改写成U(\lambda)=D_0\lambda^m+D_1\lambda^{m-1}+\cdots+D_{m-1}\lambda+D_m$

$其中D_0,D_1,\cdots,D_m都是n\times n数字矩阵,且D_0\neq O$

$若m=0,则令Q(\lambda)=O,U_0=D_0$

$设m\gt 0,令Q(\lambda)=Q_0\lambda^{m-1}+Q_1\lambda^{m-2}+\cdots+Q_{m-2}\lambda+Q_{m-1}$

$其中Q_j都为待定的数字矩阵$

$\therefore (\lambda E-A)Q(\lambda)=Q_0\lambda^m+(Q_1-AQ_0)\lambda^{m-1}+\cdots$

$+(Q_k-AQ_{k-1})\lambda^{m-k}+\cdots+(Q_{m-1}-AQ_{m-2})\lambda-AQ_{m-1}$

$取Q_0=D_0$

$Q_1=D_1+AQ_0$

$Q_2=D_2+AQ_1$

$\cdots$

$Q_k=D_k+AQ_{k-1}$

$\cdots$

$Q_{m-1}=D_{m-1}+AQ_{m-2}$

$U_0=D_m+AQ_{m-1}$

$则U(\lambda)=(\lambda E-A)Q(\lambda)+U_0$

$同理可证V(\lambda)=R(\lambda)(\lambda E-A)+V_0\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：设A,B是数域P上两个 $n\times n$ 矩阵,A与B相似的充要条件为它们的特征矩阵 $\lambda E-A$ 和 $\lambda E-B$ 等价

证明：

$\lambda E-A与\lambda E-B等价即有可逆的\lambda-矩阵U(\lambda)和V(\lambda)$

$使\lambda E-A=U(\lambda)(\lambda E-B)V(\lambda)$

$必要性$

$设A与B相似$

$则有可逆矩阵T,使A=T^{-1}BT$

$\therefore \lambda E-A与\lambda E-B等价$

$充分性$

$设\lambda E-A与\lambda E-B等价$

$即有可逆的\lambda-矩阵U(\lambda),V(\lambda)使\lambda E-A=U(\lambda)(\lambda E-B)V(\lambda)$

$\therefore \exists\lambda-矩阵Q(\lambda)和R(\lambda)及数字矩阵U_0,V_0$

$使U(\lambda)=(\lambda E-A)Q(\lambda)+U_0$

$V(\lambda)=R(\lambda)(\lambda E-A)+V_0$

$又U(\lambda)^{-1}(\lambda E-A)=(\lambda E-B)V(\lambda)$

$\therefore [U(\lambda)^{-1}-(\lambda E-B)R(\lambda)](\lambda E-A)=(\lambda E-B)V_0$

$(\lambda E-B)V_0的次数等于1或V_0=O$

$\therefore U(\lambda)^{-1}-(\lambda E-B)R(\lambda)为一个数字矩阵或零矩阵,记作T$

$即T=U(\lambda)^{-1}-(\lambda E-B)R(\lambda)$

$T(\lambda E-A)=(\lambda E-B)V_0$

$下证T可逆$

$由T=U(\lambda)^{-1}-(\lambda E-B)R(\lambda)$

$E=U(\lambda)T+U(\lambda)(\lambda E-B)R(\lambda)$

$=U(\lambda)T+(\lambda E-A)V(\lambda)^{-1}R(\lambda)$

$=[(\lambda E-A)Q(\lambda)+U_0]T+(\lambda E-A)V(\lambda)^{-1}R(\lambda)$

$=U_0T+(\lambda E-A)[Q(\lambda)T+V(\lambda)^{-1}R(\lambda)]$

$等式右端第二项为零,否则它的次数至少为1$

$由E和U_0T都是数字矩阵,等式不成立$

$\therefore E=U_0T$

$即T可逆$

$\lambda E-A=T^{-1}(\lambda E-B)V_0$

$\therefore A与B相似\qquad\mathcal{Q.E.D}$

矩阵A的特征矩阵 $\lambda E-A$ 的不变因子简称为A的不变因子

两个 $\lambda$ -矩阵等价的充要条件为它们有相同的不变因子

推论：矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子

$n\times n$ 矩阵的特征矩阵的秩一定为n,故 $n\times n$ 矩阵的不变因子总有n个,且它们的乘积即这个矩阵的特征多项式

注：不变因子是矩阵的相似不变量,故我们可将一个线性变换的任一矩阵的不变因子(与矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子

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