“危机”来临

今天数学课，因为孩子们期中考取得了蛮好的成绩。出错比较多的问题有两个，一个是棱长扩大3倍，体积扩大几倍，另一个问题涉及到知道长和横截面，求体积。课前，我琢磨着这两个问题的出现，可能是因为小飞侠对体积表象的建构还有问题。所以，想将长度到面积再到体积，再用运动的观点尝试打通下。

上课所用几何画板课件

一切都挺顺利的，点动成线，线动成面，面动成体。因为我用几何画板做了动画，非常直观，孩子也能理解。于是乎，我很高兴地看到，小飞侠们对面积的认识从“一行摆a个小方格，一共摆b行”跨越到“长（或者宽）平移，累积宽（或长）那么多”，也就是s=a×b或b×a。相应的体积就是从“一行摆a个方块，一共摆b行，有这样的c层”跨越到“底面（横截面或者正切面）平移，累积高（长或者宽）那么多”，也就是V=（ab）c或（bc）a或（ac）b。然后，把不同单位的进率带进去，把那道涉及横截面的题一带入。一讲完，时间刚好指向10：00：00，真是完美。

正在收拾东西，课件还没来得及关。YCX和HYK相继上来找我了，YCX开口的第一句话就说：王老师，你讲错了，面是没有厚度的，没有厚度的东西再累积也不会有体积。这时，HYK接过去说，老师你刚刚用到方法跟我刚开始学体积的时候想的一样，就是可以看成面不断累积，然后…我看他想举例子，又一时找不到合适的素材，讲台上有张白纸，我灵机一动提示他可以用白纸。HYK继续说：比如白纸，累加了就可以看成长方体了。

YCX同学听不下去了，说：白纸再薄，也有厚度，而面是没有厚度（直指要害）。都质疑到这份上了，我这个数学老师坐不住了，必须得出手啦。我说，YCX同学，既然面是没有厚度的，那么在这个高上就可以铺无数个面，无数个面累积就有体积了。YCX同学接过去说，面的厚度是0，累积再多个也是0。

我无语…我知道，这个问题在直观上是根本解释不了的，也就是在不引入极限思想的前提下，我的解释是无力的。继而，我想到了第二次数学危机：

【来自百度百科】在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。

英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数（导数）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。

当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。

18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

也就是说，这个问题的解释必须引入“无穷小”的概念，面的厚度是“无穷小”，“无穷小”累积无穷次之后就出来了体积。显然，我无法向YCX同学解释，只能跟她说，感兴趣的话查查“微积分”吧。

YCX和HYK的一番对话，导致了一场课堂“危机”，YCX同学重历的就是那个导致数学的第二次危机的问题，实在不得了。

其实，之前的面积以及体积（其实也包括长度）都是用单位方格或方块去摆得到了，但近几年，“点动成线、线动成面、面动成体”也被很多小学数学教师所采用。背后的原因，其实就是微积分，但是如何更好得解释像上面YCX所提的问题，始终是个问题。但是，话又说回来，为什么一定要解释清楚，让孩子带着问题不是挺好的，就让孩子们随时警醒着，我这个数学老师的“错误百出”吧！

一想着，小飞侠们已经具备了很强的质疑能力，求异思维很强，我就激动不已。请来质疑我们的数学课堂吧，让数学课堂的“危机”来得更猛烈些吧！