Indeterminate Forms and L’Hospital’s Rule 不定式 和 洛必达法则
如果有一个函数
虽然在 x=1 的点，没有意义
但是， 对应的 趋近于 1的地方， 我们想知道对应的极限信息
这里 lnx 和 x-1 都是 当 x->1， 对应的值 都趋近于0
我们把这种， x->a的时候， f(x) 和 g(x) 都趋近于0 的形式，叫做
indeterminate form of type 0/0
也就是 ** 0比0型**
之前也接触过一些，例如：
这种，化简之后，可以得到结果
例如：
我们可以通过 几何图形 得出结果。
这里，我们会介绍较系统的解决办法
L’Hospital’s Rule 洛必达法则
介绍之前， 还有一种情况：
x->a的时候， f(x) 和 g(x) 都趋近于 ∞ 的形式，叫做
indeterminate form of type ∞/∞
也就是 ** ∞比∞型**
L’Hospital’s Rule 洛必达法则
洛必达法则 很好用， 可以把 ** 0比0型** 和 ** ∞比∞型**
直接转化成对应 导数的比
这样，求起来很方便
（注意， 这里分母的导数要不为0）
例子：
** 例子1 **
因为：
明显是 ** 0比0型**
我们可以用 洛必达法则
** 例子2 **
我们知道：
明显是 ** ∞比∞型**
我们可以用 洛必达法则
这个时候，还是 ** ∞比∞型**
我们再次用 洛必达法则
** 例子3 **
不解释了
明显是 ** ∞比∞型**
我们可以用 洛必达法则
这个时候，是 ** 0比0型**
我们再次用 洛必达法则
Indeterminate Products 不确定的时候
有的时候，会存在类似 ** 0比∞型的情况
需要自己转化一下
转化成 ** 0比0型 或者 ** ∞比∞型**
一般转换方式为：
例子：
** 例子6 **
这个明显是 ** 0比∞型**
用
可以求导，得出结果：
Indeterminate Differences 不确定的微分
有的时候 会出现 XXX - YYY 的情况
这个时候，也可以转换成 ** 0比0型** 或者 ** ∞比∞型**
例子
这个时候，把 XXX - YYY 的情况
转换成 ** 0比0型**
Indeterminate Powers 不确定的幂
一般的形式，大体有下面几种：
通常可以
有
可以得到：
（通常指数函数相关的，都可以化成e为底， 这里虽然是幂，但是幂也是变量，这里可以理解成 幂 和 指数 函数的结合）
例子：
例子 8
我们可以先取自然对数
根据 洛必达法则， 先求 自然对数的极限
再转换为，对应的e为底的原函数：
所以：
例子 9
一样，先转换：
再根据 洛必达法则， 求指数的极限
最后，求原函数
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